Дз по геометрии 45 47 48 49

Краткий ответ

• 45) \(\angle EAF=70^\circ,\ \angle FAD=110^\circ\).
• 47) \(\angle 1=38^\circ\).
• 48) \(\angle CDE=\angle CED\).
• 49) \(\angle ABC=112^\circ\).

Решение

45. Пусть \(\angle EAC=\angle FAD=x\), так как это вертикальные углы.

Углы \(\angle EAC\) и \(\angle CAD\) — смежные:

\[ \angle CAD=180^\circ-x. \]

По условию:

\[ x+(180^\circ-x)+x=290^\circ, \]

\[ x=110^\circ. \]

Значит,

\[ \angle FAD=110^\circ. \]

Углы \(\angle EAF\) и \(\angle CAD\) вертикальные, поэтому

\[ \angle EAF=180^\circ-110^\circ=70^\circ. \]

Проверка:

\[ 110^\circ+70^\circ+110^\circ=290^\circ. \]

47. При пересечении трёх прямых углы \(1,2,3\) в сумме дают \(180^\circ\): один из углов, вертикальный углу \(3\), равен \(\angle3\).

\[ \angle1+\angle2+\angle3=180^\circ. \]

Тогда

\[ \angle1=180^\circ-(\angle2+\angle3) =180^\circ-142^\circ=38^\circ. \]

48. Так как \(A,D,E,F\) лежат на одной прямой, углы \(\angle ADC\) и \(\angle CDE\) смежные:

\[ \angle CDE=180^\circ-\angle ADC. \]

Аналогично,

\[ \angle CED=180^\circ-\angle CEF. \]

По условию \(\angle ADC=\angle CEF\), значит, их разности с \(180^\circ\) равны:

\[ \boxed{\angle CDE=\angle CED}. \]

49. Пусть \(BM\) — биссектриса угла \(ABC\), а \(BD\) — луч, дополнительный к \(BA\). Обозначим

\[ \angle ABC=x. \]

Тогда

\[ \angle MBA=\frac{x}{2}. \]

Поскольку \(BA\) и \(BD\) — противоположные лучи:

\[ 124^\circ+\frac{x}{2}=180^\circ. \]

\[ \frac{x}{2}=56^\circ,\qquad x=112^\circ. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\angle ABC=112^\circ}. \]

Проверка: \(180^\circ-112^\circ:2=180^\circ-56^\circ=124^\circ\).