2 задачи по геометрии решите одну задачу с "дано" и решение и вторую задачу с "дано" и решение
Краткий ответ:
- \(BC=2\sqrt7\).
- \(\cos A=\dfrac{52\sqrt3}{105}\), поэтому \(\angle A\approx30{,}9^\circ\) (примерно \(31^\circ\)).
Задача 1
Дано:
\[ AB=4,\qquad AC=6,\qquad \angle A=60^\circ. \]
Найти: \(BC\).
Решение:
По теореме косинусов:
\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A. \]
Подставим значения:
\[ BC^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos60^\circ, \]
\[ BC^2=16+36-48\cdot\frac12=52-24=28. \]
Следовательно,
\[ BC=\sqrt{28}=2\sqrt7. \]
Ответ:
\[ \boxed{BC=2\sqrt7}. \]
Проверка: \(2\sqrt7\approx5{,}29\), что подходит для стороны треугольника.
Задача 2
По рисунку:
Дано:
\[ AB=7\sqrt3,\qquad BC=2\sqrt{17},\qquad AC=5. \]
Найти: \(\angle A\).
Решение:
Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\), поэтому применяем теорему косинусов:
\[ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A. \]
Подставим значения:
\[ (2\sqrt{17})^2=(7\sqrt3)^2+5^2- 2\cdot7\sqrt3\cdot5\cdot\cos A. \]
\[ 68=147+25-70\sqrt3\cos A, \]
\[ 70\sqrt3\cos A=104. \]
Отсюда:
\[ \cos A=\frac{104}{70\sqrt3} =\frac{52\sqrt3}{105}. \]
Тогда
\[ \angle A=\arccos\left(\frac{52\sqrt3}{105}\right) \approx30{,}9^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle A\approx31^\circ}. \]
Главный принцип: если известны две стороны и угол между ними, ищем третью сторону по теореме косинусов. Если неизвестен угол, сначала находим его косинус:
\[ \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}. \]
