Решите 2 вариант

Краткие ответы

1. \(2\)
2. \(2\)
3. \(1\)
4. \(-\dfrac12\)
5. \(6\)
6. \(2\)
7. \(\dfrac45\)
8. \(6\)
9. \(\dfrac{3\,359\,232}{5}=671\,846{,}4\)
10. \(324\)
11. \(0{,}4=\dfrac25\)

Решение

Используем правила:

\[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy),\qquad \log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}, \]

\[ \log_a(x^n)=n\log_a x,\qquad a^{\log_a x}=x. \]

1. \[ \log_3 4{,}5+\log_3 2 =\log_3(4{,}5\cdot2) =\log_3 9=2. \]

2. \[ \log_3 63-\log_3 7 =\log_3\frac{63}{7} =\log_3 9=2. \]

3. Здесь \(\lg=\log_{10}\):

\[ \lg20+\lg0{,}5 =\lg(20\cdot0{,}5) =\lg10=1. \]

4. \[ \lg100=2, \] поэтому \[ \log_{0{,}25}2=x. \] Так как \(0{,}25=2^{-2}\), получаем \[ (2^{-2})^x=2^1,\qquad -2x=1, \] \[ x=-\frac12. \]

5. \[ \sqrt2=2^{1/2},\qquad 8=2^3. \] Тогда \[ \log_{\sqrt2}8=\frac{3}{1/2}=6. \]

Проверка: \[ (\sqrt2)^6=(2^{1/2})^6=2^3=8. \]

6. \[ \log_4 16=2, \] значит \[ \log_2(\log_4 16+2) =\log_2(2+2) =\log_2 4=2. \]

7. \[ \frac{\log_{10}(17^{12})}{15\log_{10}17} = \frac{12\log_{10}17}{15\log_{10}17} = \frac{12}{15} = \frac45. \]

8. \[ \sqrt{10}=10^{1/2}, \] поэтому \[ \log_{\sqrt{10}}10^3 =\frac{3}{1/2}=6. \]

9. \[ 6^{8-\log_6 2{,}5} = \frac{6^8}{6^{\log_6 2{,}5}} = \frac{6^8}{2{,}5}. \] Так как \(6^8=1\,679\,616\), то \[ \frac{1\,679\,616}{2{,}5} = 671\,846{,}4. \]

10. \[ 2^{2+4\log_2 3} = 2^2\cdot2^{4\log_2 3} = 4\left(2^{\log_2 3}\right)^4 = 4\cdot3^4 = 324. \]

11. \[ 30^{-\log_{30}2{,}5} = \frac1{30^{\log_{30}2{,}5}} = \frac1{2{,}5} = 0{,}4. \]