в номере один сделай уравнение 3 какая там область определения

1. Решите неравенства

1)

\[ x^2-9>0 \]

Разложим на множители:

\[ (x-3)(x+3)>0. \]

Произведение положительно вне корней:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)}. \]

---

2)

\[ 2x^2-13x+6<0 \]

Найдём корни:

\[ D=(-13)^2-4\cdot2\cdot6=169-48=121, \]

\[ x_{1,2}=\frac{13\pm11}{4}. \]

\[ x_1=\frac12,\qquad x_2=6. \]

Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями:

\[ \boxed{x\in\left(\frac12;6\right)}. \]

---

3)

\[ \frac{2x+3}{2x-3}\ge 0 \]

ОДЗ:

\[ 2x-3\ne0 \Rightarrow x\ne\frac32. \]

Нули числителя и знаменателя:

\[ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32, \]

\[ 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32. \]

По знакам:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left(\frac32;+\infty\right)}. \]

---

2. Найдите область определения выражений

1)

\[ \sqrt{8x-20} \]

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 8x-20\ge0, \]

\[ 8x\ge20, \]

\[ x\ge\frac52. \]

Область определения:

\[ \boxed{D=\left[\frac52;+\infty\right)}. \]

---

2)

\[ \sqrt{(x+6)(x-3)(2x+12)} \]

Раскладываем:

\[ 2x+12=2(x+6). \]

Тогда:

\[ (x+6)(x-3)(2x+12) =2(x+6)^2(x-3). \]

Требуется:

\[ 2(x+6)^2(x-3)\ge0. \]

При \(x=-6\) выражение равно нулю, а при \(x\ge3\) оно неотрицательно:

\[ \boxed{D=\{-6\}\cup[3;+\infty)}. \]

---

3. Решите систему неравенств

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{(x-5)^2}>0,\\ 6x-x^2>0. \end{cases} \]

Первое неравенство

\[ \frac{x}{(x-5)^2}>0. \]

ОДЗ:

\[ x\ne5. \]

Так как \((x-5)^2>0\), знак дроби определяется числителем:

\[ x>0,\qquad x\ne5. \]

Получаем:

\[ x\in(0;5)\cup(5;+\infty). \]

Второе неравенство

\[ 6x-x^2>0, \]

\[ x(6-x)>0. \]

Следовательно:

\[ x\in(0;6). \]

Пересекаем решения:

\[ \bigl((0;5)\cup(5;+\infty)\bigr)\cap(0;6). \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in(0;5)\cup(5;6)}. \]

Последнее упражнение методом интервалов

Решим систему:

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{(x-5)^2}>0,\\ 6x-x^2>0. \end{cases} \]

Найдём критические точки:

• для первой дроби: \(x=0\), \(x=5\);
• для второго неравенства:

\[ 6x-x^2=x(6-x), \]

поэтому критические точки \(x=0\) и \(x=6\).

Общие точки:

\[ 0,\quad 5,\quad 6. \]

Расставим знаки на интервалах:

\[ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty;0) & (0;5) & (5;6) & (6;+\infty)\\ \hline \dfrac{x}{(x-5)^2} & - & + & + & +\\ 6x-x^2 & - & + & + & - \end{array} \]

Оба неравенства выполняются одновременно на интервалах:

\[ (0;5)\quad\text{и}\quad(5;6). \]

Точки \(0\) и \(6\) не включаются из-за строгих неравенств, а \(x=5\) исключается из области определения.

\[ \boxed{x\in(0;5)\cup(5;6)} \]