Реши номер 157 построй таблицу и график

Краткий ответ: график имеет наибольшее число общих точек с прямой \(y=m\), когда
\[ \boxed{-1<m<0}. \] В этом случае общих точек 8.

1. Разобьём функцию на части

Положим \(t=|x|\), тогда \(t\ge 0\): \[ y=\left|t^2-4t+3\right|-1. \]

Так как \[ t^2-4t+3=(t-1)(t-3), \] знак выражения меняется при \(t=1\) и \(t=3\). Поэтому \[ y= \begin{cases} t^2-4t+2, & 0\le t\le 1,\\[2mm] -(t-2)^2, & 1\le t\le 3,\\[2mm] (t-2)^2-2, & t\ge 3. \end{cases} \]

Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).

2. Таблица значений

Для \(x\ge0\) возьмём основные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & 2-\sqrt2 & 1 & 2 & 3 & 2+\sqrt2 & 4\\ \hline y & 2 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 2 \end{array} \]

При \(x<0\) значения такие же:

\[ f(-x)=f(x). \]

Основные точки графика: \[ (0;2),\quad (\pm1;-1),\quad (\pm2;0),\quad (\pm3;-1),\quad (\pm4;2). \]

На промежутках график состоит из дуг парабол:

• от \((0;2)\) до \((1;-1)\) — ветвь \(y=x^2-4x+2\);
• от \((1;-1)\) до \((3;-1)\) — дуга \(y=-(x-2)^2\);
• при \(x\ge3\) — ветвь \(y=(x-2)^2-2\);
• левую половину нужно отразить относительно оси \(Oy\).

Схематично правая часть графика идёт так:

\[ (0;2)\ \searrow\ (1;-1)\ \nearrow\ (2;0)\ \searrow\ (3;-1)\ \nearrow \]

3. Число пересечений с прямой \(y=m\)

\[ \begin{array}{c|c} \text{Значения }m & \text{Число общих точек}\\ \hline m<-1 & 0\\ m=-1 & 4\\ -1<m<0 & 8\\ m=0 & 6\\ 0<m<2 & 4\\ m=2 & 3\\ m>2 & 2 \end{array} \]

При \(-1<m<0\):

• один корень получается на первом участке;
• два корня — на дуге \(y=-(x-2)^2\);
• один корень — на третьем участке.

Получается 4 положительных значения \(x\), а из-за чётности функции каждому соответствует ещё отрицательное значение. Поэтому: \[ 4\cdot2=\boxed{8}. \]

\[ \boxed{m\in(-1;0)} \]