зделай быстро
Исследование квадратных корней и множителей
Я размышляю о квадратных корнях произведений. В частности, я вижу, что √x√x равно x, что очевидно. Также я рассматриваю выражение √{ab}(√a + √b) и пошагово преобразую его. Если сосредоточиться на неотрицательных a и b, то √(ab)√a упрощается до a√b, тогда как второй член даёт b√a. Таким образом, получается a√b + b√a. Интересно!
Объяснение алгебраических преобразований
Я хочу представить цепочку алгебраических равенств, начиная с фундаментального тождества вроде \((\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x}=x+\sqrt{xy}\). Затем я могу рассмотреть другое выражение с переменными \(a\) и \(b\), чтобы продемонстрировать их объединение. Для \(z\) мне нужно показать \(\sqrt{2x}=\sqrt{2}\sqrt{x}\) и вывести дальнейшие выражения. Я хочу убедиться, что включил все ключевые шаги в выровненных уравнениях и уточнил, что область определения включает условия \(a, b, x, y, m, n \geq 0\).
Краткий ответ (при \(a,b,x,y,m,n\ge 0\)):
\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&\sqrt{ax}-\sqrt{bx};\\ \text{б)}\;&x+\sqrt{xy};\\ \text{в)}\;&a\sqrt b+b\sqrt a;\\ \text{г)}\;&m\sqrt n-n\sqrt m;\\ \text{д)}\;&2x+\sqrt{xy}-y;\\ \text{е)}\;&3a-\sqrt{ab}-2b;\\ \text{ж)}\;&6a-\sqrt{ab}-2b;\\ \text{з)}\;&x(6-5\sqrt2). \end{aligned} \]
Принцип: раскрываем скобки и используем \[ \sqrt u\cdot\sqrt v=\sqrt{uv},\qquad \sqrt u\cdot\sqrt u=u. \]
Например: \[ (\sqrt a-\sqrt b)(3\sqrt a+2\sqrt b) =3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b =3a-\sqrt{ab}-2b. \]
Для последнего пункта: \[ \sqrt{2x}=\sqrt2\sqrt x, \] поэтому \[ (4\sqrt x-\sqrt{2x})(\sqrt x-\sqrt{2x}) =x(4-\sqrt2)(1-\sqrt2) =x(6-5\sqrt2). \]
Обсуждение
4 сообщенияРеши все задачи
№486. Выполните умножение
Используем: \[ \sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab},\qquad \sqrt a\cdot\sqrt a=a. \]
а) \[ \sqrt{x}(\sqrt a-\sqrt b) =\sqrt{ax}-\sqrt{bx}. \]
Ответ: \(\boxed{\sqrt{ax}-\sqrt{bx}}\).
б) \[ (\sqrt x+\sqrt y)\sqrt x =\sqrt x\cdot\sqrt x+\sqrt y\cdot\sqrt x =x+\sqrt{xy}. \]
Ответ: \(\boxed{x+\sqrt{xy}}\).
в) \[ \sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b) =\sqrt{a^2b}+\sqrt{ab^2} =a\sqrt b+b\sqrt a. \]
Ответ: \(\boxed{a\sqrt b+b\sqrt a}\).
г) \[ (\sqrt m-\sqrt n)\sqrt{mn} =\sqrt{m^2n}-\sqrt{mn^2} =m\sqrt n-n\sqrt m. \]
Ответ: \(\boxed{m\sqrt n-n\sqrt m}\).
д) \[ \begin{aligned} (\sqrt x+\sqrt y)(2\sqrt x-\sqrt y) &=2x-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}-y\\ &=2x+\sqrt{xy}-y. \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{2x+\sqrt{xy}-y}\).
е) \[ \begin{aligned} (\sqrt a-\sqrt b)(3\sqrt a+2\sqrt b) &=3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b\\ &=3a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{3a-\sqrt{ab}-2b}\).
ж) \[ \begin{aligned} (2\sqrt a+\sqrt b)(3\sqrt a-2\sqrt b) &=6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b\\ &=6a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{6a-\sqrt{ab}-2b}\).
з) \[ \begin{aligned} (4\sqrt x-\sqrt{2x})(\sqrt x-\sqrt{2x}) &=4x-4\sqrt{2x^2}-\sqrt{2x^2}+2x\\ &=6x-5x\sqrt2\\ &=x(6-5\sqrt2). \end{aligned} \]
Ответ: \(\boxed{x(6-5\sqrt2)}\).
Реши все примеры с решением
№ 486. Выполните умножение
Считаем, что переменные под корнями неотрицательны. Используем формулы: \[ \sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab},\qquad \sqrt a\cdot\sqrt a=a. \]
а)
\[ \sqrt{x}(\sqrt a-\sqrt b) =\sqrt{x}\cdot\sqrt a-\sqrt{x}\cdot\sqrt b =\boxed{\sqrt{ax}-\sqrt{bx}}. \]
б)
\[ \begin{aligned} (\sqrt x+\sqrt y)\sqrt x &=\sqrt x\cdot\sqrt x+\sqrt y\cdot\sqrt x\\ &=x+\sqrt{xy}. \end{aligned} \]
\[ \boxed{x+\sqrt{xy}} \]
в)
\[ \begin{aligned} \sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b) &=\sqrt{ab}\cdot\sqrt a+\sqrt{ab}\cdot\sqrt b\\ &=\sqrt{a^2b}+\sqrt{ab^2}\\ &=a\sqrt b+b\sqrt a. \end{aligned} \]
\[ \boxed{a\sqrt b+b\sqrt a} \]
г)
\[ \begin{aligned} (\sqrt m-\sqrt n)\sqrt{mn} &=\sqrt m\cdot\sqrt{mn}-\sqrt n\cdot\sqrt{mn}\\ &=\sqrt{m^2n}-\sqrt{mn^2}\\ &=m\sqrt n-n\sqrt m. \end{aligned} \]
\[ \boxed{m\sqrt n-n\sqrt m} \]
д)
\[ \begin{aligned} (\sqrt x+\sqrt y)(2\sqrt x-\sqrt y) &=2\sqrt x\cdot\sqrt x-\sqrt x\cdot\sqrt y\\ &\quad+2\sqrt y\cdot\sqrt x-\sqrt y\cdot\sqrt y\\ &=2x-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}-y\\ &=2x+\sqrt{xy}-y. \end{aligned} \]
\[ \boxed{2x+\sqrt{xy}-y} \]
е)
\[ \begin{aligned} (\sqrt a-\sqrt b)(3\sqrt a+2\sqrt b) &=3\sqrt a\cdot\sqrt a+2\sqrt a\cdot\sqrt b\\ &\quad-3\sqrt b\cdot\sqrt a-2\sqrt b\cdot\sqrt b\\ &=3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b\\ &=3a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]
\[ \boxed{3a-\sqrt{ab}-2b} \]
ж)
\[ \begin{aligned} (2\sqrt a+\sqrt b)(3\sqrt a-2\sqrt b) &=6\sqrt a\cdot\sqrt a-4\sqrt a\cdot\sqrt b\\ &\quad+3\sqrt b\cdot\sqrt a-2\sqrt b\cdot\sqrt b\\ &=6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b\\ &=6a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]
\[ \boxed{6a-\sqrt{ab}-2b} \]
з)
\[ \begin{aligned} (4\sqrt x-\sqrt{2x})(\sqrt x-\sqrt{2x}) &=4x-4\sqrt{x}\sqrt{2x}\\ &\quad-\sqrt{2x}\sqrt{x}+2x\\ &=4x-4x\sqrt2-x\sqrt2+2x\\ &=6x-5x\sqrt2\\ &=x(6-5\sqrt2). \end{aligned} \]
\[ \boxed{x(6-5\sqrt2)} \]
