Конечно. Разберём каждый пример очень подробно.

Свойства корней

Будем использовать правила:

\[ \sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab} \]

\[ \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} \]

\[ (\sqrt a)^2=a \]

---

1. Найдите значение выражения

1) \(\sqrt{16\cdot25}\)

Сначала перемножим числа под корнем:

\[ 16\cdot25=400. \]

Получаем:

\[ \sqrt{16\cdot25}=\sqrt{400}. \]

Какое число в квадрате даёт \(400\)?

\[ 20^2=400. \]

Значит,

\[ \boxed{20}. \]

---

2) \(\sqrt{900\cdot0{,}49}\)

Сначала умножим:

\[ 900\cdot0{,}49=441. \]

Тогда:

\[ \sqrt{900\cdot0{,}49}=\sqrt{441}. \]

Так как

\[ 21^2=441, \]

то

\[ \boxed{21}. \]

---

3) \(\sqrt{8\cdot32}\)

Перемножим числа:

\[ 8\cdot32=256. \]

Получаем:

\[ \sqrt{8\cdot32}=\sqrt{256}. \]

Так как

\[ 16^2=256, \]

то

\[ \boxed{16}. \]

---

4) \(\sqrt{\frac{36}{49}}\)

Корень из дроби можно извлечь отдельно из числителя и знаменателя:

\[ \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}}. \]

Извлекаем корни:

\[ \sqrt{36}=6,\qquad \sqrt{49}=7. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac67}. \]

---

5) \(\sqrt{1\frac{15}{49}}\)

Сначала смешанное число превратим в неправильную дробь.

В одном целом \(49\) частей:

\[ 1=\frac{49}{49}. \]

Тогда:

\[ 1\frac{15}{49} = \frac{49}{49}+\frac{15}{49} = \frac{64}{49}. \]

Теперь извлечём корень:

\[ \sqrt{1\frac{15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}. \]

\[ \sqrt{64}=8,\qquad \sqrt{49}=7. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac87}. \]

---

6) \(\sqrt5\cdot\sqrt{45}\)

Объединим корни:

\[ \sqrt5\cdot\sqrt{45} = \sqrt{5\cdot45}. \]

Перемножим:

\[ 5\cdot45=225. \]

Получаем:

\[ \sqrt{225}=15, \]

потому что

\[ 15^2=225. \]

Ответ:

\[ \boxed{15}. \]

---

7) \(\sqrt{\frac25}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{\frac15}\)

Объединим все корни в один:

\[ \sqrt{\frac25}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{\frac15} = \sqrt{\frac25\cdot2\cdot\frac15}. \]

Перемножим дроби:

\[ \frac25\cdot2=\frac45. \]

Теперь:

\[ \frac45\cdot\frac15=\frac4{25}. \]

Значит,

\[ \sqrt{\frac25}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{\frac15} = \sqrt{\frac4{25}}. \]

Извлекаем корень из числителя и знаменателя:

\[ \sqrt{\frac4{25}} = \frac{\sqrt4}{\sqrt{25}} = \frac25. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac25}. \]

---

8) \(\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}\)

Объединим корни в один:

\[ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt3} = \sqrt{\frac{27}{3}}. \]

Делим:

\[ \frac{27}{3}=9. \]

Получаем:

\[ \sqrt9=3. \]

Ответ:

\[ \boxed{3}. \]

---

2. Исключите иррациональность в знаменателе

Это значит, что в знаменателе дроби не должно остаться корня.

1) \(\frac{14}{\sqrt7}\)

В знаменателе стоит \(\sqrt7\). Чтобы убрать корень, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt7\):

\[ \frac{14}{\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt7}{\sqrt7}. \]

Умножаем:

\[ \frac{14\sqrt7}{\sqrt7\cdot\sqrt7}. \]

Так как

\[ \sqrt7\cdot\sqrt7=7, \]

получаем:

\[ \frac{14\sqrt7}{7}. \]

Сократим \(14\) и \(7\):

\[ \frac{14}{7}=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{2\sqrt7}. \]

---

2) \(\frac{\sqrt{10}+\sqrt8}{\sqrt{10}-\sqrt8}\)

В знаменателе стоит разность:

\[ \sqrt{10}-\sqrt8. \]

Чтобы убрать корень, умножаем на выражение с противоположным знаком:

\[ \sqrt{10}+\sqrt8. \]

Получаем:

\[ \frac{\sqrt{10}+\sqrt8}{\sqrt{10}-\sqrt8} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt8}{\sqrt{10}+\sqrt8}. \]

Теперь рассмотрим числитель:

\[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2. \]

Раскрываем квадрат суммы:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Поэтому:

\[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2 = (\sqrt{10})^2+2\sqrt{10}\sqrt8+(\sqrt8)^2. \]

Извлекаем квадраты:

\[ =10+2\sqrt{80}+8. \]

Складываем обычные числа:

\[ =18+2\sqrt{80}. \]

Упростим \(\sqrt{80}\):

\[ \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5. \]

Тогда:

\[ 2\sqrt{80}=2\cdot4\sqrt5=8\sqrt5. \]

Числитель равен:

\[ 18+8\sqrt5. \]

Теперь знаменатель:

\[ (\sqrt{10}-\sqrt8)(\sqrt{10}+\sqrt8). \]

Используем формулу разности квадратов:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Получаем:

\[ (\sqrt{10})^2-(\sqrt8)^2=10-8=2. \]

Вся дробь:

\[ \frac{18+8\sqrt5}{2}. \]

Разделим каждый член числителя на \(2\):

\[ \frac{18}{2}+\frac{8\sqrt5}{2} = 9+4\sqrt5. \]

Ответ:

\[ \boxed{9+4\sqrt5}. \]

---

Ответы

\[ \boxed{20;\ 21;\ 16;\ \frac67;\ \frac87;\ 15;\ \frac25;\ 3} \]

\[ \boxed{2\sqrt7;\ 9+4\sqrt5} \]

Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: на изображении тот же «Вариант 2» с теми же примерами, которые мы уже разбирали. Могу ещё понятнее объяснить любой пункт по его номеру.

Это то же самое задание. В тетрадь можно записывать решение точно в таком виде.

1. Найдите значение выражения

1)

Сначала перемножаем числа под корнем:

\[ \sqrt{16\cdot25}=\sqrt{400}=20. \]

Ответ:

\[ \boxed{20} \]

---

2)

\[ \sqrt{900\cdot0{,}49} =\sqrt{441} =21. \]

Потому что \(900\cdot0{,}49=441\), а \(\sqrt{441}=21\).

Ответ:

\[ \boxed{21} \]

---

3)

\[ \sqrt{8\cdot32} =\sqrt{256} =16. \]

Потому что \(8\cdot32=256\), а \(16^2=256\).

Ответ:

\[ \boxed{16} \]

---

4)

Корень из дроби можно извлечь отдельно из числителя и знаменателя:

\[ \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac67. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac67} \]

---

5)

Сначала смешанное число превращаем в неправильную дробь:

\[ 1\frac{15}{49} = \frac{49+15}{49} = \frac{64}{49}. \]

Теперь извлекаем корень:

\[ \sqrt{1\frac{15}{49}} = \sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}} = \frac87. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac87} \]

---

6)

Объединяем два корня в один:

\[ \sqrt5\cdot\sqrt{45} = \sqrt{5\cdot45} = \sqrt{225} = 15. \]

Ответ:

\[ \boxed{15} \]

---

7)

Объединяем все корни в один:

\[ \sqrt{\frac25}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{\frac15} = \sqrt{\frac25\cdot2\cdot\frac15}. \]

Перемножаем дроби:

\[ \frac25\cdot2\cdot\frac15 = \frac4{25}. \]

Значит,

\[ \sqrt{\frac4{25}} = \frac{\sqrt4}{\sqrt{25}} = \frac25. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac25} \]

---

8)

Объединяем корни в один:

\[ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt3} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt9 = 3. \]

Ответ:

\[ \boxed{3} \]

---

2. Исключите иррациональность в знаменателе

Это значит, что в знаменателе не должно остаться корня.

1)

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt7\):

\[ \frac{14}{\sqrt7} = \frac{14}{\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt7}{\sqrt7} = \frac{14\sqrt7}{7} = 2\sqrt7. \]

Корень исчез из знаменателя, потому что

\[ \sqrt7\cdot\sqrt7=7. \]

Ответ:

\[ \boxed{2\sqrt7} \]

---

2)

Умножаем на выражение с противоположным знаком:

\[ \frac{\sqrt{10}+\sqrt8}{\sqrt{10}-\sqrt8} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt8}{\sqrt{10}+\sqrt8}. \]

В знаменателе применяем формулу:

\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Получаем:

\[ \frac{(\sqrt{10}+\sqrt8)^2}{10-8}. \]

Раскрываем квадрат суммы:

\[ (\sqrt{10}+\sqrt8)^2 = 10+2\sqrt{80}+8. \]

Так как

\[ \sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt5, \]

то

\[ 10+2\sqrt{80}+8 = 18+8\sqrt5. \]

Следовательно,

\[ \frac{18+8\sqrt5}{2} = 9+4\sqrt5. \]

Ответ:

\[ \boxed{9+4\sqrt5} \]

---

Итоговые ответы

\[ \boxed{20;\ 21;\ 16;\ \frac67;\ \frac87;\ 15;\ \frac25;\ 3} \]

\[ \boxed{2\sqrt7;\ 9+4\sqrt5} \]