Решить номер 138 с таким же чертежом,как наверху страницы

Краткий ответ:

1. \(x=-7\);
2. решений нет, \(\varnothing\);
3. решений нет, \(\varnothing\);
4. решений нет, \(\varnothing\).

В этих уравнениях вместо знаков \(+\) и \(-\) на чертеже отмечаем запрещённые значения — точки, при которых знаменатель равен нулю.

1)

\[ 3(x+7)=2x+14 \] \[ 3x+21=2x+14 \] \[ x=-7. \]

Проверка: \[ 3(-7+7)=0,\qquad 2\cdot(-7)+14=0. \]

Ответ: \(\boxed{x=-7}\).

2)

\[ x^2+\frac1{x^2-4}=4+\frac1{x^2-4} \]

ОДЗ: \[ x^2-4\ne0,\qquad x\ne-2,\ x\ne2. \]

Чертёж ОДЗ:

\[ -\infty\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{-2}\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{2}\; \rule{1cm}{0.4pt}\;+\infty \]

На ОДЗ одинаковые дроби сокращаются: \[ x^2=4, \] \[ x=-2\quad\text{или}\quad x=2. \]

Но оба значения запрещены ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{\varnothing}\).

3)

\[ \frac{x-2}{x^2-1}=\frac{1-2x}{x^2-1} \]

ОДЗ: \[ x^2-1\ne0,\qquad x\ne-1,\ x\ne1. \]

Чертёж ОДЗ:

\[ -\infty\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{-1}\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{1}\; \rule{1cm}{0.4pt}\;+\infty \]

Умножаем на ненулевой знаменатель: \[ x-2=1-2x, \] \[ 3x=3, \] \[ x=1. \]

Но \(x=1\) запрещено ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{\varnothing}\).

4)

\[ \frac{5x-15}{(x-3)(x+2)}=\frac2{x+2} \]

ОДЗ: \[ x\ne3,\qquad x\ne-2. \]

Чертёж ОДЗ:

\[ -\infty\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{-2}\; \rule{1cm}{0.4pt}\; \circ_{3}\; \rule{1cm}{0.4pt}\;+\infty \]

Умножаем на знаменатели: \[ 5x-15=2(x-3), \] \[ 5(x-3)=2(x-3), \] \[ 3(x-3)=0, \] \[ x=3. \]

Но \(x=3\) запрещено ОДЗ.

Ответ: \(\boxed{\varnothing}\).

Главный принцип: сначала находи ОДЗ, а затем обязательно проверяй, не попал ли найденный корень в запрещённые значения.