Решить номер 155 3 и 4
Краткий ответ:
\(x=5\);
\(x=-1\).
3) \(\sqrt{x-1}=x-3\)
Правая часть должна быть неотрицательной: \[ x-3\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 3. \]
Возводим обе части в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2, \] \[ x-1=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0. \]
Разложим на множители: \[ (x-5)(x-2)=0. \] Получаем \(x=5\) или \(x=2\).
С учётом условия \(x\ge3\) подходит только \(x=5\).
Проверка: \[ \sqrt{5-1}=2,\qquad 5-3=2. \]
Ответ: \[ \boxed{x=5} \]
4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)
Правая часть должна быть неотрицательной: \[ 1-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le1. \]
Возводим обе части в квадрат: \[ 6+x-x^2=(1-x)^2, \] \[ 6+x-x^2=1-2x+x^2, \] \[ 2x^2-3x-5=0. \]
Решаем квадратное уравнение: \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=49, \] \[ x=\frac{3\pm7}{4}. \] Поэтому \[ x=\frac52 \quad\text{или}\quad x=-1. \]
Условию \(x\le1\) соответствует только \(x=-1\).
Проверка: \[ \sqrt{6-1-1}=\sqrt4=2,\qquad 1-(-1)=2. \]
Ответ: \[ \boxed{x=-1} \]
Главный принцип: перед возведением коренного уравнения в квадрат нужно учесть, что правая часть должна быть неотрицательной, а после решения обязательно проверить найденные корни.
Обсуждение
2 сообщенияс одз
3) \(\sqrt{x-1}=x-3\)
ОДЗ: \[ x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1. \]
Так как левая часть неотрицательна, то: \[ x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge 3. \]
Значит, учитываем: \[ x\ge 3. \]
Возводим в квадрат: \[ x-1=(x-3)^2, \] \[ x-1=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0, \] \[ (x-5)(x-2)=0. \]
\[ x_1=5,\qquad x_2=2. \]
По ОДЗ \(x\ge3\), поэтому подходит только \(x=5\).
Ответ: \[ \boxed{x=5} \]
4) \(\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)
ОДЗ: \[ 6+x-x^2\ge0, \] \[ x^2-x-6\le0, \] \[ (x-3)(x+2)\le0. \]
Отсюда: \[ x\in[-2;3]. \]
Правая часть также должна быть неотрицательной: \[ 1-x\ge0 \Rightarrow x\le1. \]
Общее условие: \[ x\in[-2;1]. \]
Возводим в квадрат: \[ 6+x-x^2=(1-x)^2, \] \[ 6+x-x^2=1-2x+x^2, \] \[ 2x^2-3x-5=0. \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=49, \] \[ x=\frac{3\pm7}{4}. \]
\[ x_1=\frac52,\qquad x_2=-1. \]
По ОДЗ \(x\in[-2;1]\), поэтому подходит только \(x=-1\).
Ответ: \[ \boxed{x=-1} \]
