Реши все примеры с решением

Краткие ответы (считаем переменные неотрицательными):

а) \(\sqrt{ax}-\sqrt{bx}\);

б) \(x+\sqrt{xy}\);

в) \(a\sqrt b+b\sqrt a\);

г) \(m\sqrt n-n\sqrt m\);

д) \(2x+\sqrt{xy}-y\);

е) \(3a-\sqrt{ab}-2b\);

ж) \(6a-\sqrt{ab}-2b\);

з) \(x(6-5\sqrt2)\).

Решение

Используем распределительный закон и свойства:

\[ \sqrt u\cdot\sqrt v=\sqrt{uv},\qquad \sqrt{a^2}=a. \]

а)

\[ \sqrt{x}(\sqrt a-\sqrt b) =\sqrt{x}\cdot\sqrt a-\sqrt{x}\cdot\sqrt b =\sqrt{ax}-\sqrt{bx}. \]

б)

\[ (\sqrt x+\sqrt y)\sqrt x =\sqrt x\cdot\sqrt x+\sqrt y\cdot\sqrt x =x+\sqrt{xy}. \]

в)

\[ \sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b) =\sqrt{a^2b}+\sqrt{ab^2} =a\sqrt b+b\sqrt a. \]

г)

\[ (\sqrt m-\sqrt n)\sqrt{mn} =\sqrt{m^2n}-\sqrt{mn^2} =m\sqrt n-n\sqrt m. \]

д)

\[ \begin{aligned} (\sqrt x+\sqrt y)(2\sqrt x-\sqrt y) &=2x-\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}-y\\ &=2x+\sqrt{xy}-y. \end{aligned} \]

е)

\[ \begin{aligned} (\sqrt a-\sqrt b)(3\sqrt a+2\sqrt b) &=3a+2\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}-2b\\ &=3a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]

ж)

\[ \begin{aligned} (2\sqrt a+\sqrt b)(3\sqrt a-2\sqrt b) &=6a-4\sqrt{ab}+3\sqrt{ab}-2b\\ &=6a-\sqrt{ab}-2b. \end{aligned} \]

з)

Так как \(\sqrt{2x}=\sqrt2\sqrt x\), получаем:

\[ \begin{aligned} (4\sqrt x-\sqrt{2x})(\sqrt x-\sqrt{2x}) &=(4\sqrt x-\sqrt2\sqrt x)(\sqrt x-\sqrt2\sqrt x)\\ &=x(4-\sqrt2)(1-\sqrt2)\\ &=x(6-5\sqrt2). \end{aligned} \]

Проверка последнего шага:

\[ (4-\sqrt2)(1-\sqrt2)=4-4\sqrt2-\sqrt2+2=6-5\sqrt2. \]