Реши развëрнуто

Краткий ответ:

• 2) \(x=0\)
• 9) \(x=1\)
• 16) \(x=0\)

Основные правила

При одинаковом основании степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}, \]

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]

Если основания одинаковые, то равны и показатели:

\[ a^m=a^n \Rightarrow m=n. \]

2) \(\;3^x\cdot 3^4=81\)

Представим \(81\) как степень числа \(3\):

\[ 81=3^4. \]

Применим правило умножения степеней:

\[ 3^x\cdot 3^4=3^{x+4}. \]

Получаем:

\[ 3^{x+4}=3^4. \]

Следовательно, показатели равны:

\[ x+4=4, \]

\[ x=0. \]

Проверка:

\[ 3^0\cdot 3^4=1\cdot81=81. \]

Ответ: \(\boxed{x=0}\).

---

9) \(\;\frac{3^3}{3^x}=9\)

Представим \(9\) как степень числа \(3\):

\[ 9=3^2. \]

По правилу деления степеней:

\[ \frac{3^3}{3^x}=3^{3-x}. \]

Тогда:

\[ 3^{3-x}=3^2. \]

Приравниваем показатели:

\[ 3-x=2. \]

\[ -x=-1, \]

\[ x=1. \]

Проверка:

\[ \frac{3^3}{3^1}=\frac{27}{3}=9. \]

Ответ: \(\boxed{x=1}\).

---

16) \(\;4^{2x-3}\cdot 4^5=4^{3x+2}\)

Слева применим правило умножения степеней:

\[ 4^{2x-3}\cdot4^5=4^{(2x-3)+5}. \]

Получаем:

\[ 4^{2x+2}=4^{3x+2}. \]

Так как основания одинаковые, приравниваем показатели:

\[ 2x+2=3x+2. \]

Вычтем \(2x\) из обеих частей:

\[ 2=x+2. \]

Вычтем \(2\):

\[ x=0. \]

Проверка:

\[ 4^{2\cdot0-3}\cdot4^5=4^{-3}\cdot4^5=4^2, \]

\[ 4^{3\cdot0+2}=4^2. \]

Равенство верно.

Ответ: \(\boxed{x=0}\).