осы бүкіл 10 есеп
Жүру уақытын есептеу
Менің эскалатормен төмен жүруге қанша уақыт кететінін анықтап жатқаным көрінеді. Жерге қатысты жылдамдық -0,4 м/с деп берілген, бұл төмен қарай қозғалысты білдіреді. Егер толық орын ауыстыру 60 метр болса және мен 0,4 м/с жылдамдықпен қозғалсам, уақытты былай есептеймін: t = 150 секунд. Демек, төмен жүруге кететін уақыт осындай болады!
Көліктердің қозғалысын талдау
Мен үш көліктің салыстырмалы қозғалысын қарастырып жатырмын: A — 25 м/с, B — 20 м/с және C — 15 м/с жылдамдықпен қозғалады. Бастапқыда A мен B бір-бірінен 500 м, ал B мен C 300 м қашықтықта орналасқан. Алдымен A көлігінің B-ні қуып жетуіне қанша уақыт кететінін анықтаймын. A артта келе жатқандықтан, салыстырмалы жылдамдық айырмасы 5 м/с, сондықтан оған шамамен 100 секунд қажет болады. Содан кейін A көлігінің C-ні қуып жету уақытын есептеймін: олардың арақашықтығы барлығы 800 м, сондықтан шамамен 80 секунд кетеді.
Қазақша жұмыс парағын жасау
Мен салыстырмалы жылдамдық пен пойыздардың бір-бірінен өтуіне арналған есептер қамтылған «Жұмыс парағы (Оқушы нұсқасы)» атты арнайы қазақша жұмыс парағын жасадым. Бір бөлімде салыстырмалы жылдамдықты есептеу, ал басқа бөлімде жолаушылар пойызының жүк пойызынан өту уақытын олардың ұзындықтарын пайдаланып анықтау сұралуы мүмкін. Сұрақтар әртүрлі аспектілерге қатысты сияқты, мысалы, бір пойыздың алдыңғы бөлігінің екінші пойыздың алдыңғы бөлігінен өтуіне кеткен уақыт.
Пойыздардың өту терминдерін нақтылау
«Қасына өту» және «қасынан өту» терминдерінің айырмашылығы неде екенін ойлап жатырмын; бұл қате болуы мүмкін, бірақ ештеңені болжап алғым келмейді. Пойыздарға қатысты есептер үшін екі уақытты да көрсетуім керек: жүк пойызының ұзындығын басып өтуге арналған \(t_1\) және толық өтуге арналған \(t_{\text{толық}}\). Егер \(t_1\) толық өту уақытын білдіруі керек болса, бірақ ол тек бір пойыздың ұзындығын қамтыса, жауап қате деп бағалануы мүмкін. Мен түсініксіз тұстарды болжам жасамай нақтылағым келеді және сонымен бірге пайдаланушы күткен мазмұнды ұсынғым келеді.
Аударманы мұқият қарастыру
Бұл қазақша сөйлемнің грамматикалық мағынасын зерттеуім керек. Онда: «Жолаушылар пойызының жүк пойызының қасынан өтуіне кететін \(t_1\) уақыты қандай?» деп сұралады. Аударманың анық болуына назар аударамын. Мағынаның дұрыс сақталуы өте маңызды. Осыны ескере отырып, сөйлемді дәл аударуға тырысамын.
A, B және C көліктерінің орналасуын бағалау
Мен A, B және C көліктерінің орналасуын түсінуге тырысып жатырмын. Егер B A мен C-нің арасында болса, сандарға байланысты күмән туындайды. Мысалы, егер A 2000-де, ал C 2000-де орналасса, бірақ B 2100-де болса, онда олардың реті өзгереді ғой, солай емес пе? Күте тұрыңыз, B бастапқыда 500-де, ал C 800-де болған, бірақ B баяуырақ болғандықтан, C алға озады. B 100-ге жеткен кезде C-ні басып озған сияқты.
Қозғалыс жағдайларын талдау
Мен A, B және C көліктерінің жылдамдықтары мен орындарын есептеп жатырмын. 20 жылдамдықпен қозғалатын B көлігі 15 жылдамдықпен қозғалатын C көлігін 60 секундтан кейін қуып жететінін анықтадым. Бірақ A көлігі C-ні 80 секундта қуып жетеді, бұл кезде B әлі де алда болады. Салыстырмалы жылдамдықтардың айырмашылығына байланысты A шын мәнінде C-ні бірінші басып озатын сияқты. Бастапқы орналасу ретін нақтылауға тырысып жатырмын және қозғалмайтын эскалатордағы салыстырмалы қозғалысқа қатысты жалпы формуламен жұмыс істеп жатырмын.
Эскалатор динамикасын зерттеу
Мен эскалатордың және оның үстінде жүріп келе жатқан адамның жылдамдықтарын талдап жатырмын. Егер жоғары қарай жүретін эскалатормен жоғары көтерілсем, шыңына 36 секундта жететінімді анықтадым. Алайда дәл сондай жылдамдықпен төмен қарай жүруге тырыссам, есеп бойынша төмен түсе алмаймын, өйткені эскалатордың жылдамдығы менің жүру жылдамдығымнан жоғары. Бұл сұрақ әдейі шатастыру үшін қойылған сияқты, әсіресе \(t_4\)-ке қатысты. Осы жерде «төмен қарай жүру» ұғымының нақты нені білдіретінін анықтауым керек.
Уақытты есептеуді бағалау
Бағытқа байланысты уақыт туралы сұраққа қалай жақындау керектігін қарастырып жатырмын. Есеп нақты жылдамдықтармен қозғалысты сұрайтындықтан, күрделі болып көрінеді. Эскалатор жоғары қарай қозғалып, ал бала төмен қарай жүрсе, олар салыстырмалы қозғалысты қарастырып жатқан болуы мүмкін. Мүмкін, олар шынымен төмен қарай өту уақытын сұрап тұрған шығар? 60 м қашықтық үшін есептесем, 150 с шығады. Бір қызығы, бұл жоғары бағыттағы қозғалысқа сәйкес келеді, сондықтан егер олар төмен түсу уақытын күткен болса, жағдай күрделене түседі.
Салыстырмалы жылдамдықтарды есептеуді талдау
Мен салыстырмалы жылдамдықты есептеп жатырмын, мүмкін, оны \(v_{12}=v_1+v_2=25\) түрінде анықтауға болады. Менде \(v_1 = v_k + v_{af} = 10\) және \(v_2 = v_k - v_{af} = 6\). Анық болу үшін \(v_{\text{э}}\) және \(v_{\text{б}}\) сияқты әртүрлі белгілеулерді қарастырып жатырмын. Сондай-ақ \(t_1\)-ді қалай анықтайтынымды нақтылауым керек — ол бір пойыздың екінші пойыздың ұзындығын басып өтуіне кететін уақытқа қатысты. Пайдаланушы шатаспауы үшін мұны ашық көрсеткім келеді.
Пойыздарға қатысты есептеулерді түсіндіру
Мен параллель жолдарда бір-біріне қарай қозғалып келе жатқан екі пойызға қатысты есепті қарастырып жатырмын. Бірі — ұзындығы 150 м және жылдамдығы 15 м/с жүк пойызы, екіншісі — ұзындығы 100 м және жылдамдығы 10 м/с жолаушылар пойызы.
Алдымен салыстырмалы жылдамдықты табуым керек, содан кейін жолаушылар пойызының жүк пойызынан өтуіне кететін уақытты есептеймін. Олардың ұзындықтары мен жылдамдықтарына қатысты формуланы қолдануға болатын сияқты. Есептеулерді қалай құратыныма мұқият болуым керек!
Пойыздардың орналасуын талдау
Егер пойыздар бастапқыда алдыңғы жақтары бір-бірімен қатарласатындай орналасса, жағдайды қарастырып жатырмын. Егер сұрақ жолаушылар пойызының артқы бөлігі жүк пойызымен теңесетін уақытқа қатысты болса, бұл шамамен t=4 секундта болуы мүмкін деп ойлауым ықтимал. Бірақ мұндай есептерде әдетте есептеуді алдыңғы бөліктері кездескен сәттен бастайды, бұл — стандартты түсіндіру. Қалай әрекет ету керектігін нақтылауым керек!
Қозғалыс динамикасын зерттеу
Мен қозғалмалы таспада жүріп келе жатқан баланың қозғалысын және оның қозғалысы орнына қалай әсер ететінін ойлап жатырмын. Егер ол таспаға қатысты 0,8 жылдамдықпен төмен қарай жүрсе, жерге қатысты жалпы қозғалысы бәрібір 0,4 жоғары бағытта болады, бұл жағдайды күрделендіреді! Алайда одан таспаға қарсы қозғалып, жоғарыға жету уақыты сұралса, 150 уақыт бірлігі шығады. Егер бала төменнен бастаса және таспа жоғары қозғалып тұрғанда жүрсе, ол төменгі жақтан асып кетпей, жоғарғы жаққа жете алады.
Таспа қозғалысының динамикасын талдау
Мен таспаның материалды жоғары қарай қалай жылжытатынын және оның адамның қозғалысына қалай әсер ететінін қарастырып жатырмын. Адам x=30 нүктесінде тұрып, төмен қарай 0,4 жер жылдамдығымен жүрсе, теориялық тұрғыдан x=60 нүктесіндегі жоғарғы жаққа 150 секундта жете алады. Алайда егер ол төмен қарай жүріп келе жатып жоғарғы жақта болса, төмен түспей, жоғарғы шеттен шығып кетеді. Тапсырма уақыттардың арақатынасын аналитикалық тұрғыдан қарастыратын сияқты, сондықтан теріс уақыт оның төмен түсе алмайтынын білдіретінін нақтылауым керек.
Қысқаша жауап
- а) \(v_1=20\text{ м/с}\), \(v_2=15\text{ м/с}\); ә) \(v_{12}=5\text{ м/с}\); б) \(t=20\text{ с}\).
- а) \(v_{\text{сал}}=25\text{ м/с}\); ә) \(t_1=6\text{ с}\); б) \(t_{\text{толық}}=10\text{ с}\).
- а) \(v_1=10\text{ м/с}\), \(v_2=6\text{ м/с}\); ә) \(t_{\text{толық}}=80\text{ с}\).
- а) \(v_1=2\text{ м/с}\), \(t_1=30\text{ с}\); ә) \(v_2=0{,}4\text{ м/с}\) жоғары бағытта, формалды уақыт \(150\text{ с}\). Бала төмен түсе алмайды.
- а) \(v_{\text{сал}}=25\text{ м/с}\); ә) \(\theta\approx53{,}1^\circ\).
- а) \(v_{\text{толық}}=5\text{ м/с}\); ә) \(t=50\text{ с}\); б) \(s=150\text{ м}\).
- а) \(\alpha=30^\circ\); ә) \(v_{\text{нәтиже}}\approx4{,}33\text{ м/с}\); б) \(t\approx69{,}3\text{ с}\).
- а) \(v_{AB}=10\text{ м/с}\); ә) \(S=50\text{ м}\).
- а) \(t_1=100\text{ с}\); ә) \(t_2=80\text{ с}\).
- а) \(t_3=36\text{ с}\); ә) адам төмен түсе алмайды, \(t_4\) жоқ.
Негізгі шешуі
Негізгі ережелер:
- бір бағытта қозғалыс: \(v_{\text{сал}}=|v_1-v_2|\);
- қарама-қарсы қозғалыс: \(v_{\text{сал}}=v_1+v_2\);
- перпендикуляр жылдамдықтар үшін Пифагор теоремасы қолданылады.
1-есеп
Берілгені:
\[
v_1=20\text{ м/с},\qquad v_2=15\text{ м/с}.
\]
Автомобильдердің салыстырмалы жылдамдығы:
\[ v_{12}=v_1-v_2=20-15=5\text{ м/с}. \]
Қуып жету уақыты:
\[ t=\frac{s}{v_{12}}=\frac{100}{5}=20\text{ с}. \]
Тексеру: \(5\cdot20=100\text{ м}\).
2-есеп
Пойыздар қарама-қарсы қозғалғандықтан:
\[ v_{\text{сал}}=v_1+v_2=15+10=25\text{ м/с}. \]
Жолаушы пойызының басы жүк пойызының \(150\text{ м}\) ұзындығын өту уақыты:
\[ t_1=\frac{l_1}{v_{\text{сал}}} =\frac{150}{25}=6\text{ с}. \]
Пойыздардың толық өтуі үшін екі ұзындық қосылады:
\[ t_{\text{толық}} =\frac{l_1+l_2}{v_{\text{сал}}} =\frac{150+100}{25}=10\text{ с}. \]
3-есеп
Ағыс бойымен:
\[ v_1=v_{\text{қайық}}+v_{\text{ағыс}} =8+2=10\text{ м/с}. \]
Ағысқа қарсы:
\[ v_2=v_{\text{қайық}}-v_{\text{ағыс}} =8-2=6\text{ м/с}. \]
Барлық уақыт:
\[ t_{\text{толық}} =\frac{300}{10}+\frac{300}{6} =30+50=80\text{ с}. \]
4-есеп
Эскалатор мен бала бір бағытта жүргенде:
\[ v_1=v_{\text{э}}+v_{\text{б}} =1{,}2+0{,}8=2\text{ м/с}. \]
\[ t_1=\frac{L}{v_1}=\frac{60}{2}=30\text{ с}. \]
Бала төмен қарай жүрсе, оның қозғалысы эскалаторға қарсы болады:
\[ v_2=1{,}2-0{,}8=0{,}4\text{ м/с}. \]
Бірақ бұл жылдамдықтың бағыты — жоғары, себебі эскалатор жылдамырақ қозғалады. \(60\text{ м}\) жолды осы нәтижелік бағытта өту уақыты:
\[ t=\frac{60}{0{,}4}=150\text{ с}. \]
Демек, бала жоғарғы жақтан төмен түсе алмайды.
5-есеп
Жаңбырдың пойызға қатысты жылдамдығының құраушылары:
- көлденең бағытта: \(20\text{ м/с}\);
- тік бағытта: \(15\text{ м/с}\).
Сондықтан:
\[ v_{\text{сал}} =\sqrt{20^2+15^2} =\sqrt{625}=25\text{ м/с}. \]
Вертикальдан ауытқу бұрышы:
\[ \tan\theta=\frac{20}{15}=\frac43. \]
\[ \theta=\arctan\frac43\approx53{,}1^\circ. \]
6-есеп
Қайықтың суға қатысты жылдамдығы \(4\text{ м/с}\), ағыс жылдамдығы \(3\text{ м/с}\). Олар перпендикуляр:
\[ v_{\text{толық}} =\sqrt{4^2+3^2} =\sqrt{25}=5\text{ м/с}. \]
Өзеннен өту уақыты тек өзенге перпендикуляр құраушы арқылы табылады:
\[ t=\frac{d}{v_{\text{қайық}}} =\frac{200}{4}=50\text{ с}. \]
Ағыс ығыстыратын қашықтық:
\[ s=v_{\text{ағыс}}t=3\cdot50=150\text{ м}. \]
7-есеп
Қайықтың ағысқа қарсы құраушысы ағысты өтеуі керек:
\[ v_{\text{қайық}}\sin\alpha=v_{\text{ағыс}}. \]
\[ 5\sin\alpha=2{,}5, \qquad \sin\alpha=0{,}5, \]
\[ \alpha=30^\circ. \]
Жағаға перпендикуляр нәтижелік жылдамдық:
\[ v_{\text{нәтиже}} =5\cos30^\circ =\frac{5\sqrt3}{2} \approx4{,}33\text{ м/с}. \]
Өзеннен өту уақыты:
\[ t=\frac{300}{4{,}33}\approx69{,}3\text{ с}. \]
8-есеп
Салыстырмалы жылдамдық:
\[ v_{AB} =\sqrt{v_A^2+v_B^2} =\sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{100}=10\text{ м/с}. \]
\(5\) секундтан кейін:
\[ x_A=6\cdot5=30\text{ м}, \qquad y_B=8\cdot5=40\text{ м}. \]
Арақашықтық:
\[ S=\sqrt{30^2+40^2} =\sqrt{2500}=50\text{ м}. \]
9-есеп
А мен В бір бағытта қозғалады. А-ның В-ға қатысты жылдамдығы:
\[ v_{AB}=25-20=5\text{ м/с}. \]
\[ t_1=\frac{500}{5}=100\text{ с}. \]
А мен С арасындағы бастапқы қашықтық:
\[ s_{AC}=500+300=800\text{ м}. \]
А-ның С-ға қатысты жылдамдығы:
\[ v_{AC}=25-15=10\text{ м/с}. \]
\[ t_2=\frac{800}{10}=80\text{ с}. \]
10-есеп
Эскалатордың ұзындығын \(L\) деп алайық.
Адамның өз аяғымен жүру жылдамдығы:
\[ v_{\text{адам}}=\frac{L}{90}. \]
Эскалатордың жылдамдығы:
\[ v_{\text{эск}}=\frac{L}{60}. \]
Жоғары қарай бірге жүргенде жылдамдықтар қосылады:
\[ \frac1{t_3}=\frac1{90}+\frac1{60} =\frac{2+3}{180} =\frac1{36}. \]
Сондықтан:
\[ t_3=36\text{ с}. \]
Төмен қарай жүргенде:
\[ v_{\text{төмен}} =\frac{L}{90}-\frac{L}{60} =-\frac{L}{180}. \]
Теріс таңба адамның Жерге қатысты бәрібір жоғары қозғалатынын көрсетеді. Сондықтан ол төмен түсе алмайды, \(t_4\) үшін оң мән жоқ.
