Реши задание на изображении
Краткий ответ:
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ \frac1{a-3}, &&a\ne\pm3;\\ \text{б)}&\ x+4, &&x\ne4;\\ \text{в)}&\ \frac5{m-n}, &&m\ne\pm n;\\ \text{г)}&\ -\frac2{b+3}, &&b\ne\pm3;\\ \text{д)}&\ \frac{a+3b}{a-3b}, &&a\ne\pm3b;\\ \text{е)}&\ \frac{y+1}{y-1}, &&y\ne\pm1;\\ \text{ж)}&\ a+6, &&a\ne1;\\ \text{з)}&\ \frac{x+1}{x-3}, &&x\ne1,\ x\ne3. \end{aligned} \]
Правило: при одинаковых знаменателях складываем или вычитаем числители, затем раскладываем на множители и сокращаем общие множители.
Решение
а)
\[ \frac{a}{a^2-9}+\frac3{a^2-9} =\frac{a+3}{a^2-9} =\frac{a+3}{(a-3)(a+3)} =\frac1{a-3}. \]
Исходный знаменатель не равен нулю: \(a\ne3,\ a\ne-3\).
б)
\[ \frac{x^2}{x-4}-\frac{16}{x-4} =\frac{x^2-16}{x-4} =\frac{(x-4)(x+4)}{x-4} =x+4. \]
Ограничение: \(x\ne4\).
в)
\[ \frac{5m}{m^2-n^2}+\frac{5n}{m^2-n^2} =\frac{5m+5n}{m^2-n^2} =\frac{5(m+n)}{(m-n)(m+n)} =\frac5{m-n}. \]
Ограничения: \(m\ne n,\ m\ne-n\).
г)
\[ \frac6{b^2-9}-\frac{2b}{b^2-9} =\frac{6-2b}{b^2-9} =\frac{-2(b-3)}{(b-3)(b+3)} =-\frac2{b+3}. \]
Ограничения: \(b\ne3,\ b\ne-3\).
д)
\[ \frac{a^2}{a^2-9b^2} +\frac{6ab+9b^2}{a^2-9b^2} = \frac{a^2+6ab+9b^2}{a^2-9b^2}. \]
\[ a^2+6ab+9b^2=(a+3b)^2, \qquad a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b). \]
Поэтому
\[ \frac{(a+3b)^2}{(a-3b)(a+3b)} =\frac{a+3b}{a-3b}. \]
Ограничения: \(a\ne3b,\ a\ne-3b\).
е)
\[ \frac{y^2+7y}{y^2-1}-\frac{5y-1}{y^2-1} = \frac{y^2+7y-(5y-1)}{y^2-1} \]
\[ =\frac{y^2+2y+1}{(y-1)(y+1)} =\frac{(y+1)^2}{(y-1)(y+1)} =\frac{y+1}{y-1}. \]
Ограничения: \(y\ne1,\ y\ne-1\).
ж)
\[ \frac{a^2+3a}{a-1}+\frac{2a-6}{a-1} = \frac{a^2+5a-6}{a-1}. \]
\[ a^2+5a-6=(a+6)(a-1), \]
значит,
\[ \frac{(a+6)(a-1)}{a-1}=a+6. \]
Ограничение: \(a\ne1\).
з)
\[ \frac{x^2}{x^2-4x+3}-\frac1{x^2-4x+3} = \frac{x^2-1}{x^2-4x+3}. \]
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \qquad x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Тогда
\[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-3)} =\frac{x+1}{x-3}. \]
Ограничения: \(x\ne1,\ x\ne3\).
Проверка: сокращение выполнено только после указания значений, при которых исходные знаменатели не равны нулю.
