Реши задание на изображении
Краткий ответ (действительные корни):
а) \(x=\pm3\);
б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\);
в) действительных корней нет;
г) \(x=\pm1,\ \pm\frac12\);
д) \(x=\pm\sqrt{\frac13},\ \pm\sqrt{\frac23}\);
е) \(y=\pm\frac12\).
Решение
Для биквадратного уравнения делаем замену:
\[ z=x^2,\quad z\ge 0 \]
или аналогично \(z=y^2,\ z=t^2\). Тогда получаем квадратное уравнение относительно \(z\).
а)
\[ x^4-5x^2-36=0 \]
\[ z^2-5z-36=0 \]
\[ (z-9)(z+4)=0 \]
\[ z=9 \quad \text{или} \quad z=-4. \]
Так как \(z=x^2\ge0\), берём только \(z=9\):
\[ x^2=9,\qquad x=\pm3. \]
б)
\[ y^4-6y^2+8=0 \]
\[ z^2-6z+8=0 \]
\[ (z-2)(z-4)=0. \]
\[ y^2=2 \quad \text{или} \quad y^2=4, \]
откуда
\[ y=\pm\sqrt2,\qquad y=\pm2. \]
в)
\[ t^4+10t^2+25=0 \]
\[ (t^2+5)^2=0. \]
\[ t^2=-5. \]
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней нет.
г)
\[ 4x^4-5x^2+1=0 \]
\[ 4z^2-5z+1=0 \]
\[ (4z-1)(z-1)=0. \]
\[ x^2=\frac14 \quad \text{или} \quad x^2=1. \]
Значит,
\[ x=\pm\frac12,\qquad x=\pm1. \]
д)
\[ 9x^4-9x^2+2=0 \]
\[ 9z^2-9z+2=0 \]
\[ (3z-1)(3z-2)=0. \]
\[ x^2=\frac13 \quad \text{или} \quad x^2=\frac23. \]
Следовательно,
\[ x=\pm\sqrt{\frac13},\qquad x=\pm\sqrt{\frac23}. \]
е)
\[ 16y^4-8y^2+1=0 \]
\[ (4y^2-1)^2=0. \]
\[ 4y^2-1=0,\qquad y^2=\frac14. \]
\[ y=\pm\frac12. \]
Проверка: во всех пунктах найденные значения дают допустимые неотрицательные значения \(x^2\), \(y^2\) или \(t^2\), поэтому после обратной подстановки исходные уравнения обращаются в ноль.
