Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Понимание квадратных уравнений на русском
Мне нужно дать ответ на русском языке о том, как решать квадратное уравнение. Сначала следует начать с краткого ответа, а затем объяснить ключевые шаги. Например, можно показать, как разложить x² - 5x + 6 на множители и получить (x - 2)(x - 3) = 0, откуда корни равны 2 и 3. Нужно проверить каждый корень и, возможно, добавить строку с предложением показать аналогичное уравнение.
Итоговый ответ на русском: «Краткий ответ: x1=2, x2=3.»
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Разложим многочлен на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Ответ верный: \(\boxed{x=2;\ 3}\).
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Хороший вопрос. Буква \(x\) не появляется заново — она уже была в исходном выражении \(x^2-5x+6\). Мы просто заменяем это выражение на равное ему произведение.
Нужно разложить:
\[ x^2-5x+6 \]
на множители. Чтобы получить \(x^2\), в обоих скобках ставим \(x\):
\[ (x-2)(x-3). \]
Проверим раскрытием скобок:
\[ \begin{aligned} (x-2)(x-3) &=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3)\\ &=x^2-3x-2x+6\\ &=x^2-5x+6. \end{aligned} \]
Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Здесь \(x\) в скобках нужно для того, чтобы при умножении получить \(x^2\).
