Реши задание на изображении
Расчёт тормозных расстояний и времени движения
Мне нужно проанализировать, как останавливается вагон и как долго продолжает двигаться поезд. Путь поезда рассчитывается по формуле \(s_{\text{train}}=vt\). Средняя скорость вагона равна половине его скорости, поэтому пройденное им расстояние составляет \(s_w=vt/2\). Затем я вывожу его ускорение: \(a=-v/t\). Для велосипедистов один начинает движение на 20 секунд позже, и у обоих одинаковое ускорение; нужно определить, когда расстояние между ними станет равным 240 м. Оказывается, что через 40 секунд после старта первого велосипедиста их расстояние достигнет 240 м.
Предположения об условиях для велосипедистов и задач о движении
Следует предположить, что оба велосипедиста начинают движение из состояния покоя, поскольку начальные скорости не указаны. Пользователю требуется полное решение. Первый велосипедист начинает движение на 20 секунд позже, поэтому я предполагаю, что оба равномерно ускоряются из состояния покоя. Это означает, что их начальные скорости можно принять равными нулю. У меня также есть вторая задача о теле, которое проходит в \(n\)-ю секунду расстояние, в три раза большее, чем в предыдущую секунду, вероятно, также начиная движение из состояния покоя. Нужно вывести это аккуратно!
Определение уравнений движения
Я могу рассмотреть второго участника, который начинает движение на 20 секунд позже; фраза «один велосипедист стартовал на 20 с позже другого» предполагает, что у них одинаковое ускорение, но начальные скорости могут различаться. Слово «стартовал» указывает на начало движения из состояния покоя, что важно. Для пути, пройденного за \(n\)-ю секунду, я помню, что полный путь от начала движения через \(t\) секунд \(s(t)\) задаётся уравнением: \(s(t) = a t²/2\). Расстояние, пройденное за \(n\)-ю секунду, раскладывается как \(\Delta s_n\), что я вычислю далее!
Краткие ответы
- \(a=-1\ \text{м/с}^2\) — торможение с ускорением по модулю \(1\ \text{м/с}^2\).
- \(t=4\sqrt5\approx 8{,}9\ \text{с}\).
- \(v=6\ \text{м/с}=21{,}6\ \text{км/ч}\).
- \(t=150\ \text{с}\), \(s=675\ \text{м}\).
- \(a=-0{,}5\ \text{м/с}^2\), тормозной путь \(25\ \text{м}\).
- \(a=-27\ \text{м/с}^2\) — замедление по модулю \(27\ \text{м/с}^2\).
- Путь вагона в 2 раза меньше: \(s_{\text{в}}=\frac12s_{\text{поезда}}\).
- Через \(40\ \text{с}\) после старта первого велосипедиста.
- За вторую секунду — при начале движения из состояния покоя.
Решение
Используем формулы:
\[ v=v_0+at,\qquad s=v_0t+\frac{at^2}{2},\qquad v^2-v_0^2=2as. \]
1
Переведём скорость:
\[ 36\ \text{км/ч}=10\ \text{м/с}. \]
Автомобиль остановился, значит \(v=0\):
\[ a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{0-10}{10}=-1\ \text{м/с}^2. \]
Проверка:
\[ v=10-1\cdot10=0. \]
2
Велосипедист начинает движение из состояния покоя, поэтому \(v_0=0\):
\[ s=\frac{at^2}{2}. \]
Отсюда
\[ t=\sqrt{\frac{2s}{a}} =\sqrt{\frac{2\cdot30}{0{,}75}} =\sqrt{80}=4\sqrt5\approx8{,}9\ \text{с}. \]
3
Троллейбус трогается с места, поэтому \(v_0=0\):
\[ v=at=1{,}2\cdot5=6\ \text{м/с}. \]
В километрах в час:
\[ 6\cdot3{,}6=21{,}6\ \text{км/ч}. \]
4
Сначала найдём ускорение поезда:
\[ a=\frac{v}{t}=\frac{0{,}6}{10}=0{,}06\ \text{м/с}^2. \]
Время, за которое скорость станет \(9\ \text{м/с}\):
\[ t=\frac{v}{a}=\frac{9}{0{,}06}=150\ \text{с}. \]
Путь за это время:
\[ s=\frac{at^2}{2} =\frac{0{,}06\cdot150^2}{2} =675\ \text{м}. \]
Проверка:
\[ 0{,}06\cdot150=9\ \text{м/с}. \]
5
Сначала найдём скорость автомобиля:
\[ v_0=\frac{s}{t}=\frac{20}{4}=5\ \text{м/с}. \]
При торможении автомобиль остановился за \(10\ \text{с}\):
\[ a=\frac{0-5}{10}=-0{,}5\ \text{м/с}^2. \]
Тормозной путь:
\[ s_{\text{торм}}=v_0t+\frac{at^2}{2} =5\cdot10+\frac{(-0{,}5)\cdot10^2}{2} =50-25=25\ \text{м}. \]
6
Дано:
\[ v_0=9\ \text{м/с},\qquad v=0,\qquad s=1{,}5\ \text{м}. \]
Используем формулу:
\[ v^2-v_0^2=2as. \]
\[ a=\frac{0^2-9^2}{2\cdot1{,}5} =\frac{-81}{3} =-27\ \text{м/с}^2. \]
Знак «минус» показывает, что движение замедленное.
7
Пусть поезд двигался со скоростью \(v\), а вагон остановился за время \(t\).
Поезд двигался равномерно:
\[ s_{\text{поезда}}=vt. \]
Вагон за это же время изменил скорость от \(v\) до \(0\). Его средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{v+0}{2}=\frac v2. \]
Поэтому путь вагона:
\[ s_{\text{вагона}}=\frac v2t=\frac{vt}{2}. \]
Следовательно,
\[ s_{\text{вагона}}=\frac12s_{\text{поезда}}, \]
то есть путь вагона в 2 раза меньше пути поезда.
8
Пусть \(t\) — время после старта первого велосипедиста. Второй стартовал через \(20\ \text{с}\), поэтому он двигался \(t-20\) секунд.
При \(a=0{,}4\ \text{м/с}^2\):
\[ s_1=\frac{at^2}{2}=0{,}2t^2, \]
\[ s_2=\frac{a(t-20)^2}{2}=0{,}2(t-20)^2. \]
Расстояние между ними:
\[ s_1-s_2=240. \]
\[ 0{,}2\left[t^2-(t-20)^2\right]=240. \]
\[ 0{,}2(40t-400)=240, \]
\[ 8t-80=240, \]
\[ t=40\ \text{с}. \]
Проверка:
\[ s_1=0{,}2\cdot40^2=320\ \text{м}, \]
\[ s_2=0{,}2\cdot20^2=80\ \text{м}, \]
\[ 320-80=240\ \text{м}. \]
9
Для движения из состояния покоя путь за \(n\)-ю секунду:
\[ s_n=\frac a2(2n-1). \]
За предыдущую секунду:
\[ s_{n-1}=\frac a2(2n-3). \]
По условию:
\[ s_n=3s_{n-1}. \]
\[ \frac a2(2n-1)=3\cdot\frac a2(2n-3). \]
Сокращаем:
\[ 2n-1=6n-9, \]
\[ n=2. \]
Ответ: путь за вторую секунду втрое больше пути за первую.
