реши 1067(б) и 1068(а)

Краткий ответ:

• 1067(б): окружности имеют внутреннее касание в точке \((2;0)\).
• 1068(а): окружности пересекаются в двух точках: \[ \left(-\frac74;\frac{\sqrt{15}}4\right),\quad \left(-\frac74;-\frac{\sqrt{15}}4\right). \]

1067(б)

\[ (x-1)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=4. \]

Центры и радиусы:

\[ O_1(1;0),\quad r_1=1; \qquad O_2(0;0),\quad r_2=2. \]

Расстояние между центрами:

\[ d=1. \]

Так как

\[ d=|r_2-r_1|=|2-1|=1, \]

окружности касаются внутренним образом.

Точка касания находится на оси \(Ox\):

\[ T(2;0). \]

Проверка:

\[ (2-1)^2+0^2=1,\qquad 2^2+0^2=4. \]

1068(а)

\[ (x+2)^2+y^2=1,\qquad x^2+y^2=4. \]

Раскроем скобки в первом уравнении:

\[ x^2+4x+4+y^2=1. \]

Так как \(x^2+y^2=4\), получаем:

\[ 4+4x+4=1, \]

\[ 4x=-7,\qquad x=-\frac74. \]

Подставим во второе уравнение:

\[ \left(-\frac74\right)^2+y^2=4, \]

\[ \frac{49}{16}+y^2=\frac{64}{16}, \]

\[ y^2=\frac{15}{16}, \qquad y=\pm\frac{\sqrt{15}}4. \]

Получились два значения \(y\), значит, окружности имеют две точки пересечения.