Реши задание на изображении
Проверка уравнений
Мне нужно внимательно рассмотреть текст на изображении. В верхней части, по-видимому, находятся уравнения, пронумерованные от 1 до 6, начиная с «x^2 - 4|x| - 21=0» и «(x+3)^2 - |x+3| - 30=0». В середине находятся ещё два уравнения, а внизу я вижу повторение первых двух. Пользователь хочет решить задание, но если какая-либо часть неясна, я просто попрошу уточнить, вместо того чтобы гадать. Лучше подтвердить!
Анализ уравнений на изображении
Похоже, мне нужно определить запись нескольких уравнений, показанных на изображении. Я замечаю несколько уравнений, расположенных вертикально: первое читается как «1) x^2 - 4|x| - 21=0», а следующее — как «2) (x+3)^2 - |x+3| - 30=0». Далее уравнения продолжаются до «6) 3x - 5 - 2√(3x - 5)=0». Возможно, пользователю нужны только последние два уравнения, но на всякий случай я решу все шесть.
Разбор уравнения №4
Я рассматриваю уравнение №4, которое выглядит так: «4) 9x^2 - 24x - |3x - 4| = 4». Я хочу убедиться, что всё записано правильно, поэтому предполагаю, что пропущенного слагаемого нет; важно лишь то, как оно представлено. Я могу переписать его как «9x² - 24x - |3x - 4| = 4». Крайне важно решить каждое уравнение правильно, поэтому сначала я планирую дать краткий ответ, а затем изложить шаги и проверки, перечислив корни всех уравнений, начиная с первого: «x^2 - 4|x| - 21 = 0».
Проверка подстановкой
Думаю, вместо подстановки каждого корня по отдельности имеет смысл включить общую проверку подстановкой. Пользователь упомянул проверку результатов, если это уместно, поэтому я обязательно рассмотрю области допустимых значений и различные множители. Можно явно указать: «Все найденные t удовлетворяют условию t ≥ 0, ОДЗ выполнены...; подстановка...». Так информация будет представлена ясно и кратко. Я хочу убедиться, что пользователь получит наиболее точный ответ!
Краткий ответ
На изображении читаются шесть уравнений:
\(x^2-4|x|-21=0\):
\[ x=-7,\;7. \]\((x+3)^2-|x+3|-30=0\):
\[ x=-9,\;3. \]\(x^2-2x-5|x-1|+5=0\):
\[ x=-3,\;0,\;2,\;5. \]\(9x^2-24x-|3x-4|=4\):
\[ x=-\frac13,\;3. \]\(x-12\sqrt{x}+35=0\):
\[ x=25,\;49. \]\(3x-5-2\sqrt{3x-5}=0\):
\[ x=\frac53,\;3. \]
Решение
1) \(x^2-4|x|-21=0\)
Обозначим \(t=|x|\), тогда \(t\ge 0\), \(x^2=t^2\):
\[ t^2-4t-21=0, \]
\[ (t-7)(t+3)=0. \]
Так как \(t\ge0\), берём \(t=7\). Значит,
\[ |x|=7 \Rightarrow x=\pm7. \]
2) \((x+3)^2-|x+3|-30=0\)
Пусть \(t=|x+3|\), \(t\ge0\). Тогда:
\[ t^2-t-30=0, \]
\[ (t-6)(t+5)=0. \]
Подходит \(t=6\):
\[ |x+3|=6. \]
Отсюда:
\[ x+3=6 \Rightarrow x=3, \]
\[ x+3=-6 \Rightarrow x=-9. \]
3) \(x^2-2x-5|x-1|+5=0\)
Заметим:
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1. \]
Тогда:
\[ (x-1)^2-5|x-1|+4=0. \]
Пусть \(t=|x-1|\), \(t\ge0\):
\[ t^2-5t+4=0, \]
\[ (t-1)(t-4)=0. \]
Получаем \(t=1\) или \(t=4\):
\[ |x-1|=1 \Rightarrow x=0,\;2, \]
\[ |x-1|=4 \Rightarrow x=-3,\;5. \]
4) \(9x^2-24x-|3x-4|=4\)
Пусть \(u=3x-4\). Тогда:
\[ 9x^2-24x=(3x-4)^2-16=u^2-16. \]
Подставим:
\[ u^2-16-|u|=4, \]
\[ u^2-|u|-20=0. \]
Пусть \(t=|u|\), \(t\ge0\):
\[ t^2-t-20=0, \]
\[ (t-5)(t+4)=0. \]
Подходит \(t=5\), значит:
\[ |3x-4|=5. \]
Отсюда:
\[ 3x-4=5 \Rightarrow x=3, \]
\[ 3x-4=-5 \Rightarrow x=-\frac13. \]
5) \(x-12\sqrt{x}+35=0\)
Область допустимых значений: \(x\ge0\).
Пусть \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge0\), \(x=t^2\):
\[ t^2-12t+35=0, \]
\[ (t-5)(t-7)=0. \]
\[ t=5 \quad\text{или}\quad t=7. \]
Следовательно:
\[ x=5^2=25,\qquad x=7^2=49. \]
6) \(3x-5-2\sqrt{3x-5}=0\)
Пусть \(t=\sqrt{3x-5}\), \(t\ge0\). Тогда:
\[ 3x-5=t^2. \]
Получаем:
\[ t^2-2t=0, \]
\[ t(t-2)=0. \]
\[ t=0 \quad\text{или}\quad t=2. \]
Если \(t=0\):
\[ 3x-5=0 \Rightarrow x=\frac53. \]
Если \(t=2\):
\[ 3x-5=4 \Rightarrow x=3. \]
Все найденные значения удовлетворяют ограничениям \(t\ge0\) и исходным уравнениям.
