Реши с объяснениями номер 182

Краткий ответ: все три пары уравнений равносильны.

Равносильные уравнения имеют одинаковые решения.

1)

\[ 2^{x^2+3x}=2^2 \quad\text{и}\quad x^2+3x=2. \]

Функция \(y=2^t\) строго возрастает, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей:

\[ 2^{x^2+3x}=2^2 \iff x^2+3x=2. \]

Уравнения равносильны.

2)

\[ \sqrt{x^2+3x}=\sqrt2 \quad\text{и}\quad x^2+3x=2. \]

Обе части первого уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

\[ \sqrt{x^2+3x}=\sqrt2 \iff x^2+3x=2. \]

Посторонних корней не появляется. Уравнения равносильны.

Проверим решения:

\[ x^2+3x=2, \] \[ x^2+3x-2=0. \]

По формуле корней:

\[ x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}2. \]

Для этих значений \(x^2+3x=2\ge 0\), значит, они подходят и для уравнения с корнем.

3)

\[ \sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x} \quad\text{и}\quad x+18=2-x. \]

Кубический корень — строго возрастающая функция на всей числовой прямой:

\[ \sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\iff a=b. \]

Значит,

\[ \sqrt[3]{x+18}=\sqrt[3]{2-x} \iff x+18=2-x. \]

Решение:

\[ 2x=-16,\qquad x=-8. \]

Итог: все три пары уравнений равносильны.