Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Найдём два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6. \]
Разложим на множители:
\[ x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня верны.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Конечно. \(x\) не появляется из ниоткуда — его выносят за скобки как общий множитель.
Было:
\[ x^2-2x-3x+6. \]
Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:
\[ (x^2-2x)+(-3x+6). \]
Первая группа
В выражениях \(x^2\) и \(2x\) есть общий множитель \(x\):
\[ x^2-2x=x\cdot x-x\cdot2=x(x-2). \]
Вторая группа
В выражениях \(-3x\) и \(6\) общий множитель \(-3\):
\[ -3x+6=-3x+(-3)\cdot(-2)=-3(x-2). \]
Поэтому:
\[ x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2). \]
Теперь в обоих слагаемых есть общая скобка \((x-2)\), выносим её:
\[ x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3). \]
Проверка обратным раскрытием скобок:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
То есть \(x\) взяли из \(x^2\) и \(2x\) как общий множитель.
