Реши задание на изображении

Краткий ответ

Для заданий 1 и 2 можно выбрать любые неколлинеарные векторы. Возьмём перпендикулярные.

1. Пусть \(\vec a=(3,0)\), \(\vec b=(0,2)\) см. Тогда
   \[ \vec p=3\vec a-0{,}5\vec b=(9,-1)\text{ см}. \]

2. Пусть \(\vec m=(2,0)\), \(\vec n=(0,3)\) см. Тогда
   \[ \vec a=2\vec m-\frac13\vec n=(4,-1)\text{ см}. \]

3. \[ \boxed{\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m} \] \[ \boxed{\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n} \]

4. \[ \boxed{\overrightarrow{CN}=\vec a-\frac23\vec b} \] \[ \boxed{\overrightarrow{MN}=\frac12\vec a-\frac23\vec b} \]

Объяснение

1. Построение \(\vec p=3\vec a-0{,}5\vec b\)

• \(3\vec a\) — вектор того же направления, что и \(\vec a\), длиной \(9\) см.
• \(0{,}5\vec b\) имеет длину \(1\) см.
• Знак «минус» означает, что \(-0{,}5\vec b\) направлен противоположно \(\vec b\).
• Складываем \(3\vec a\) и \(-0{,}5\vec b\) по правилу параллелограмма.

При выбранных перпендикулярных векторах: \[ 3\vec a=(9,0),\qquad -0{,}5\vec b=(0,-1), \] поэтому \[ \vec p=(9,0)+(0,-1)=(9,-1). \]

Проверка длины выбранного результата: \[ |\vec p|=\sqrt{9^2+(-1)^2}=\sqrt{82}\text{ см}. \]

2. Построение \(2\vec m-\frac13\vec n\)

• \(2\vec m\) имеет длину \(4\) см.
• \(\frac13\vec n\) имеет длину \(1\) см.
• Вектор \(-\frac13\vec n\) направлен противоположно \(\vec n\).
• Складываем \(2\vec m\) и \(-\frac13\vec n\).

\[ 2\vec m=(4,0),\qquad -\frac13\vec n=(0,-1), \] следовательно, \[ \vec a=(4,0)+(0,-1)=(4,-1). \]

3. Параллелограмм \(KMNP\)

Положим \(K\) началом координат. Тогда: \[ \overrightarrow{KM}=\vec m,\qquad \overrightarrow{KP}=\vec n,\qquad \overrightarrow{KN}=\vec m+\vec n. \]

Так как \(PA:AN=2:1\), то \[ \overrightarrow{PA}=\frac23\overrightarrow{PN} =\frac23\vec m. \] Значит, \[ \overrightarrow{KA}=\vec n+\frac23\vec m. \]

Тогда \[ \overrightarrow{MA} =\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM} =\vec n+\frac23\vec m-\vec m =\vec n-\frac13\vec m. \]

Точка \(B\) — середина \(MN\), поэтому \[ \overrightarrow{MB}=\frac12\overrightarrow{MN} =\frac12\vec n. \] Следовательно, \[ \overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} =-\left(\vec n-\frac13\vec m\right)+\frac12\vec n =\frac13\vec m-\frac12\vec n. \]

Проверка: \[ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} =\frac12\vec n =\overrightarrow{MB}. \]

4. Параллелограмм \(ABCD\)

Положим \(B\) началом координат: \[ \overrightarrow{BA}=\vec a,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec b. \] Тогда \[ \overrightarrow{BD}=\vec a+\vec b. \]

Так как \(AN:ND=1:2\), точка \(N\) делит \(AD\) в отношении \(1:2\): \[ \overrightarrow{AN}=\frac13\overrightarrow{AD} =\frac13\vec b. \] Поэтому \[ \overrightarrow{BN}=\vec a+\frac13\vec b. \]

Точка \(M\) — середина \(CD\), значит \[ \overrightarrow{BM} =\frac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}) =\vec b+\frac12\vec a. \]

Теперь: \[ \overrightarrow{CN} =\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BC} =\vec a+\frac13\vec b-\vec b =\vec a-\frac23\vec b. \]

И \[ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BM} =\left(\vec a+\frac13\vec b\right) -\left(\frac12\vec a+\vec b\right) =\frac12\vec a-\frac23\vec b. \]