Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(y=4x-5\) — возрастает на всей числовой прямой.
2. \(y=-2x+6\) — убывает на всей числовой прямой.
3. \(y=-\dfrac16x\) — убывает на всей числовой прямой.
4. \(y=\dfrac{6}{3-x}\) — возрастает на промежутке \((3;+\infty)\).

Решение

Для проверки возьмём \(x_1<x_2\).
Если \(f(x_2)-f(x_1)>0\), функция возрастает; если \(f(x_2)-f(x_1)<0\), убывает.

1) \(y=4x-5\)

\[ f(x_2)-f(x_1)=(4x_2-5)-(4x_1-5) =4(x_2-x_1)>0. \]

Значит, функция возрастает.

2) \(y=-2x+6\)

\[ f(x_2)-f(x_1)=(-2x_2+6)-(-2x_1+6) =-2(x_2-x_1)<0. \]

Значит, функция убывает.

3) \(y=-\dfrac16x\)

\[ f(x_2)-f(x_1) =-\frac16x_2+\frac16x_1 =-\frac16(x_2-x_1)<0. \]

Значит, функция убывает.

4) \(y=\dfrac{6}{3-x}\), \(x\in(3;+\infty)\)

Пусть \(3<x_1<x_2\). Тогда

\[ f(x_2)-f(x_1) =\frac{6}{3-x_2}-\frac{6}{3-x_1} \]

\[ =\frac{6\big((3-x_1)-(3-x_2)\big)} {(3-x_2)(3-x_1)} =\frac{6(x_2-x_1)} {(3-x_2)(3-x_1)}. \]

Числитель положительный. Оба множителя в знаменателе отрицательны, поэтому их произведение положительно. Следовательно,

\[ f(x_2)-f(x_1)>0. \]

Значит, функция возрастает на \((3;+\infty)\).

Проверка на примере: \(f(4)=-6\), \(f(5)=-3\), то есть при увеличении \(x\) значение функции увеличивается.