217 номер
Разбор квадратных задач
Мне нужно ответить по-русски на задание 217, уделив особое внимание квадратным трёхчленам, их корням, сумме и произведению. На изображении написано: «Докажите, что квадратный трёхчлен имеет корни, и найдите их сумму и произведение».
Нужно решить четыре задачи. Мне необходимо вычислить дискриминанты, чтобы показать, что они имеют корни, и использовать теоремы Виета для нахождения их сумм и произведений. Запишу точные коэффициенты с изображения.
Вычисление дискриминантов и корней
Мне нужно вычислить дискриминант (D) каждого квадратного уравнения по формуле D = b² - 4ac.
Для первого уравнения получаю D = 100 - 24 = 76, что больше 0. Сумма корней равна 10/2 = 5, а произведение — 3/2.
Для второго D = 49 + 8/3 = 155/3, что также положительно. Сумма корней равна -21, а произведение — -6.
Для третьего уравнения получается D = 34, сумма = -12, а произведение = 2.
Для последнего получается D = 10/9, что показывает, что оно также имеет корни.
По формуле Виета, при \(D>0\) корни существуют.
а) \(D=76>0\); \(\ x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=\frac32.\)
б) \(D=\frac{155}{3}>0\); \(\ x_1+x_2=-21,\quad x_1x_2=-6.\)
в) \(D=34>0\); \(\ x_1+x_2=-12,\quad x_1x_2=2.\)
г) \(D=\frac{10}{9}>0\); \(\ x_1+x_2=\frac23,\quad x_1x_2=-1.\)
Обсуждение
4 сообщенияТочные ответы 217 номер
№ 217
Во всех случаях \(D>0\), поэтому корни существуют.
а) \(2x^2-10x+3\)
\[ D=76,\qquad x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{19}}{2}. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=5},\qquad \boxed{x_1x_2=\frac32}. \]
б) \(\frac13x^2+7x-2\)
\[ D=\frac{155}{3},\qquad x_{1,2}=\frac{-21\pm\sqrt{465}}{2}. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=-21},\qquad \boxed{x_1x_2=-6}. \]
в) \(0{,}5x^2+6x+1\)
\[ D=34,\qquad x_{1,2}=-6\pm\sqrt{34}. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=-12},\qquad \boxed{x_1x_2=2}. \]
г) \(-\frac12x^2+\frac13x+\frac12\)
\[ D=\frac{10}{9},\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{10}}{3}. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=\frac23},\qquad \boxed{x_1x_2=-1}. \]
Точные ответы с дискриминантом
№ 217
Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\):
\[ D=b^2-4ac. \]
а) \(2x^2-10x+3\)
\[ D=(-10)^2-4\cdot2\cdot3=76>0. \]
\[ x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{76}}4 =\frac{5\pm\sqrt{19}}2. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=5},\qquad \boxed{x_1x_2=\frac32}. \]
б) \(\frac13x^2+7x-2\)
\[ D=7^2-4\cdot\frac13\cdot(-2) =49+\frac83=\frac{155}{3}>0. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{\frac{155}{3}}}{\frac23} =\frac{-21\pm\sqrt{465}}2. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=-21},\qquad \boxed{x_1x_2=-6}. \]
в) \(0{,}5x^2+6x+1\)
\[ D=6^2-4\cdot0{,}5\cdot1=34>0. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{34}}{1} =-6\pm\sqrt{34}. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=-12},\qquad \boxed{x_1x_2=2}. \]
г) \(-\frac12x^2+\frac13x+\frac12\)
\[ D=\left(\frac13\right)^2 -4\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\frac12 =\frac19+1=\frac{10}{9}>0. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-\frac13\pm\sqrt{\frac{10}{9}}}{-1} =\frac{1\pm\sqrt{10}}3. \]
\[ \boxed{x_1+x_2=\frac23},\qquad \boxed{x_1x_2=-1}. \]
