номер 422(д,е) и номер 423(а,б,в)
Объяснение математических принципов
Мне нужно объяснить принцип, начав с краткого ответа, а затем приведя шаги. Похоже, мне нужно обосновать и точно вывести выражение 422d: \((a - b) / (\sqrt{b} + \sqrt{a})\). Я могу разложить \(a - b\) как \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\), предполагая, что \(a\) и \(b\) неотрицательны. После сокращения я получаю ответ \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\). Область определения требует \(a, b \geq 0\) и \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq 0\). Я также упомяну ограничения, связанные с положительностью переменных.
Вычисление алгебраических выражений
Я работаю с несколькими алгебраическими выражениями и их упрощением. Например, в первом выражении я заметил, что могу сократить его и получить 1/(2√x + 3√y), но нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю. Я также рассматривал разложение на множители и сокращение членов в таких выражениях, как (√5 - a)/(5 - a²). Важно отметить условия для a и x, чтобы преобразования оставались допустимыми. Я буду учитывать эти ограничения по мере вычисления выражений.
Анализ дробей и упрощений
Я вычисляю дробь: она упрощается до -1/(5 + √x) при условиях x ≥ 0 и x ≠ 25. Мне нужно проверить, может ли числитель, √x - 5, привести к этому результату. Ответ -1/(√x + 5), по-видимому, верен. При исключении x = 25 следует убедиться, что область определения указана ясно. Я рассматриваю альтернативную форму 25 - x = (5 - √x)(5 + √x), чтобы подтвердить свои шаги. Важно представить итоговый ответ и проверки в краткой структуре.
Краткий ответ:
422 д) \(\boxed{\sqrt a-\sqrt b}\)
422 е) \(\boxed{\dfrac1{2\sqrt x+3\sqrt y}}\)
423 а) \(\boxed{x-\sqrt2}\)
423 б) \(\boxed{\dfrac1{\sqrt5+a}}\)
423 в) \(\boxed{-\dfrac1{\sqrt x+5}}\)
Правило
Сокращать можно только множители, поэтому сначала разложим числитель или знаменатель на множители по формуле:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]
Номер 422
д)
\[ \frac{a-b}{\sqrt b+\sqrt a} = \frac{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}{\sqrt a+\sqrt b} \]
\[ = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} {\sqrt a+\sqrt b} =\sqrt a-\sqrt b. \]
е)
\[ 4x-9y=(2\sqrt x)^2-(3\sqrt y)^2 \]
\[ =(2\sqrt x-3\sqrt y)(2\sqrt x+3\sqrt y). \]
Тогда
\[ \frac{2\sqrt x-3\sqrt y}{4x-9y} = \frac{2\sqrt x-3\sqrt y} {(2\sqrt x-3\sqrt y)(2\sqrt x+3\sqrt y)} = \frac1{2\sqrt x+3\sqrt y}. \]
Номер 423
а)
\[ \frac{x^2-2}{x+\sqrt2} = \frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x+\sqrt2} =x-\sqrt2. \]
б)
\[ 5-a^2=(\sqrt5-a)(\sqrt5+a), \]
поэтому
\[ \frac{\sqrt5-a}{5-a^2} = \frac{\sqrt5-a}{(\sqrt5-a)(\sqrt5+a)} = \frac1{\sqrt5+a}. \]
в)
\[ 25-x=5^2-(\sqrt x)^2=(5-\sqrt x)(5+\sqrt x), \]
а
\[ \sqrt x-5=-(5-\sqrt x). \]
Значит,
\[ \frac{\sqrt x-5}{25-x} = \frac{-(5-\sqrt x)} {(5-\sqrt x)(5+\sqrt x)} = -\frac1{5+\sqrt x}. \]
Ограничения исходных дробей сохраняются: знаменатель не должен быть равен нулю. Например, в 423(в) \(x\ge 0,\ x\ne25\).
