328 329 330 331
Qisqa javob. Boshlang‘ich funksiya bo‘lish sharti:
\[ F'(x)=f(x). \]
Har bir topilgan funksiyaga istalgan \(C\) o‘zgarmasni qo‘shish mumkin.
328. \(R\) da boshlang‘ich funksiyalardan biri
a) \(f(x)=3,5\)
\[ F(x)=3,5x. \]
b) \(f(x)=\cos x\)
\[ F(x)=\sin x. \]
d) \(f(x)=2x\)
\[ F(x)=x^2. \]
g) \(f(x)=\sin x\)
\[ F(x)=-\cos x. \]
Haqiqatan:
\[ (3,5x)'=3,5,\quad (\sin x)'=\cos x, \] \[ (x^2)'=2x,\quad (-\cos x)'=\sin x. \]
329. \(R\) da boshlang‘ich funksiyalardan biri
a) \(f(x)=-\sin x\)
\[ F(x)=\cos x. \]
b) \(f(x)=-x\)
\[ F(x)=-\frac{x^2}{2}. \]
d) \(f(x)=-4\)
\[ F(x)=-4x. \]
g) \(f(x)=-\cos x\)
\[ F(x)=-\sin x. \]
330. Berilgan \(F(x)\) — \(f(x)\) ning boshlang‘ich funksiyasi ekanini tekshiramiz
a)
\[ F(x)=\sin^2x. \]
\[ F'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x=f(x). \]
Demak, ha.
b)
\[ F(x)=\frac12\cos 2x. \]
\[ F'(x)=\frac12(-2\sin 2x)=-\sin 2x=f(x). \]
Demak, ha.
d)
\[ F(x)=\sin 3x. \]
\[ F'(x)=3\cos 3x=f(x). \]
Demak, ha.
g)
\[ F(x)=3+\operatorname{tg}\frac{x}{2}. \]
\[ F'(x)=\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}=f(x). \]
Demak, ha. Berilgan \((-\pi;\pi)\) oraliqda hosila aniqlangan.
331. \(F(x)\) berilgan oraliqda \(f(x)\) ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘la oladimi?
a)
\[ F'(x)=\left(2x+\cos\frac{x}{2}\right)' =2-\frac12\sin\frac{x}{2}=f(x). \]
Bo‘la oladi.
b)
\[ F'(x)=\left(\sqrt{4-x^2}\right)' =\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=f(x). \]
Bo‘la oladi \((x\in(-2;2))\).
d)
\[ F(x)=\frac{x}{x^2}=\frac1x. \]
\[ F'(x)=-\frac1{x^2}\neq 14-\frac1{x^2}=f(x). \]
Shuning uchun bo‘la olmaydi.
g)
\[ F(x)=4x\sqrt{x}=4x^{3/2}. \]
\[ F'(x)=4\cdot\frac32x^{1/2}=6\sqrt{x}=f(x). \]
Bo‘la oladi.
Yakuniy javob: 331-misolning a), b), g) bandlarida — ha; d) bandida — yo‘q.
Обсуждение
4 сообщения332
332-masalaning sharti ko‘rinmayapti. Iltimos, uning rasmini yoki to‘liq matnini yuboring.
332
332. \( \mathbb{R} \) da \(f(x)\) funksiyasining boshlang‘ich funksiyalaridan biri:
a) \(f(x)=x+2\)
\[ F(x)=\frac{x^2}{2}+2x, \]
chunki
\[ F'(x)=x+2. \]
b)
\[ f(x)=\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)^2. \]
Soddalashtiramiz:
\[ f(x)=1-\sin x. \]
Shuning uchun
\[ F(x)=x+\cos x, \]
chunki
\[ F'(x)=1-\sin x. \]
v)
\[ f(x)=\sin^2x+\cos^2x=1. \]
Demak,
\[ F(x)=x. \]
g) \(f(x)=3x^2+1\)
\[ F(x)=x^3+x, \]
chunki
\[ F'(x)=3x^2+1. \]
Javoblar:
\[ \boxed{F_a(x)=\frac{x^2}{2}+2x} \]
\[ \boxed{F_b(x)=x+\cos x} \]
\[ \boxed{F_v(x)=x} \]
\[ \boxed{F_g(x)=x^3+x} \]
Umumiy ko‘rinishda har biriga \(+C\) qo‘shish mumkin.
