Номер три решить с рисунком

Краткий ответ: пусть \(M\) и \(N\) — середины отрезков \(AC\) и \(BC\). Тогда
\[ \boxed{MN\parallel\alpha}. \]

Схематичный рисунок

                         C
                        / \
                       /   \
                      M-----N
                     /       \
                    /         \
                   A-----------B
                  /             /
                 D-------------E
                    плоскость α

Здесь \(A,B\in\alpha\), а \(C\notin\alpha\).

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). По условию: \[ AM=MC,\qquad BN=NC, \] поэтому \(M\) и \(N\) — середины его сторон.

2. По теореме о средней линии треугольника: \[ MN\parallel AB. \]

3. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\): \[ AB\subset\alpha. \]

4. Точки \(M\) и \(N\) не лежат в плоскости \(\alpha\), так как они находятся внутри отрезков \(AC\) и \(BC\), а точка \(C\notin\alpha\).

Следовательно, прямая \(MN\) параллельна прямой \(AB\), лежащей в плоскости \(\alpha\), и сама не лежит в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости: \[ \boxed{MN\parallel\alpha}. \]