Реши всё
A6BC58
\[ \sin x>0,\quad \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0 \]
а) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).
б) \(\displaystyle x=-\frac{35\pi}{6}\).
B2FAAF
\[ t=\log_2(\sin x):\quad t(t+1)=0 \]
а) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\) или \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).
б) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}\).
617B18
\[ t=16^{\sin^2x}>0:\quad 8t-\frac8t=63\Rightarrow t=8 \] \[ \sin^2x=\frac34 \]
а) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) или \(\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\).
б) \(\displaystyle x=\frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}\).
AD8FD9
\[ 4t-\frac{24}{t}=29\Rightarrow t=8\Rightarrow \sin^2x=\frac34 \]
а) \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+\pi k\) или \(\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}+\pi k\).
б) \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}\).
Нижнее задание с \(2^{x-3}\) обрезано после \(1/\), поэтому его решить однозначно нельзя.
Обсуждение
2 сообщенияРешение с пояснением
Разберём все задания по шагам.
1. Задание A6BC58
Дано:
\[ \begin{cases} \sin x>0,\\ \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0. \end{cases} \]
Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\neq0\). Поэтому первый множитель не может быть равен нулю:
\[ 2\cos x-\sqrt3=0. \]
Отсюда
\[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Общие решения:
\[ x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6},\qquad k\in\mathbb Z. \]
При \(x=2\pi k-\frac{\pi}{6}\) синус отрицателен, поэтому эта ветвь не подходит. Получаем:
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.} \]
Проверим число из пункта б):
\[ -\frac{35\pi}{6} =\frac{\pi}{6}-6\pi =\frac{\pi}{6}+2\pi(-3). \]
Следовательно,
\[ \boxed{-\frac{35\pi}{6}\text{ является решением}.} \]
2. Задание B2FAAF
Решаем уравнение
\[ \log_2(\sin x)\bigl(\log_2(\sin x)+1\bigr)=0. \]
Сначала учитываем область определения:
\[ \sin x>0. \]
Сделаем замену:
\[ t=\log_2(\sin x). \]
Тогда
\[ t(t+1)=0. \]
Произведение равно нулю, значит:
\[ t=0\quad\text{или}\quad t=-1. \]
1-й случай
\[ \log_2(\sin x)=0, \]
\[ \sin x=2^0=1. \]
Отсюда
\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]
2-й случай
\[ \log_2(\sin x)=-1, \]
\[ \sin x=2^{-1}=\frac12. \]
Тогда
\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \]
Полный ответ по записанному уравнению:
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k.} \]
В предыдущем кратком ответе была пропущена ветвь
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2\pi k}. \]
В пункте б) на указанном промежутке подходят:
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}.} \]
3. Задание 617B18
Пусть
\[ t=16^{\sin^2x}. \]
Так как степень положительного числа всегда положительна,
\[ t>0. \]
Уравнение принимает вид:
\[ 8t-\frac8t=63. \]
Умножим на \(t\):
\[ 8t^2-63t-8=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-8)(8t+1)=0. \]
Отсюда
\[ t=8\quad\text{или}\quad t=-\frac18. \]
Но \(t>0\), поэтому
\[ t=8. \]
Возвращаемся к замене:
\[ 16^{\sin^2x}=8. \]
Представим числа как степени двойки:
\[ (2^4)^{\sin^2x}=2^3, \]
\[ 2^{4\sin^2x}=2^3. \]
Следовательно,
\[ 4\sin^2x=3, \]
\[ \sin^2x=\frac34. \]
Значит,
\[ \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}. \]
Общие решения:
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.} \]
Из них на указанном промежутке получаем:
\[ \boxed{x=\frac{11\pi}{3},\ \frac{13\pi}{3},\ \frac{14\pi}{3}.} \]
4. Задание AD8FD9
Пусть
\[ t=16^{\sin^2x}>0. \]
Тогда:
\[ 4t-\frac{24}{t}=29. \]
Умножаем на \(t\):
\[ 4t^2-29t-24=0. \]
Разложение:
\[ (t-8)(4t+3)=0. \]
Отсюда
\[ t=8\quad\text{или}\quad t=-\frac34. \]
Так как \(t>0\), остаётся
\[ t=8. \]
Следовательно,
\[ 16^{\sin^2x}=8. \]
Переходим к основанию \(2\):
\[ 2^{4\sin^2x}=2^3, \]
\[ 4\sin^2x=3, \]
\[ \sin^2x=\frac34. \]
Поэтому
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{3}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{2\pi}{3}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.} \]
Из них на указанном промежутке:
\[ \boxed{x=\frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}.} \]
Последнее задание с выражением \(2^{x-3}\) обрезано, поэтому его условие нужно прислать полностью.
