реши первое
Ответ для пункта а): \[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z} \]
Решение.
Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: \[ \sqrt{7\sin x}\ne 0 \quad\Rightarrow\quad 7\sin x>0, \] значит, \[ \sin x>0. \]
Приравняем числитель к нулю: \[ 4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt3\sin x}=0, \] \[ 4^{\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}. \]
Так как \(4=2^2\), получаем: \[ 2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt3\sin x}. \]
Основания одинаковые, поэтому равны показатели: \[ 2\sin 2x=2\sqrt3\sin x, \] \[ \sin 2x=\sqrt3\sin x. \]
Используем формулу \(\sin 2x=2\sin x\cos x\): \[ 2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x, \] \[ \sin x(2\cos x-\sqrt3)=0. \]
Уравнение \(\sin x=0\) не подходит по ОДЗ. Поэтому: \[ 2\cos x-\sqrt3=0, \] \[ \cos x=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Отсюда: \[ x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6}. \]
Но условие \(\sin x>0\) оставляет только: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]
Проверка: при \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) \[ \sin x=\frac12,\qquad \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}, \] поэтому числитель равен \[ 4^{\sqrt3/2}-2^{\sqrt3}=2^{\sqrt3}-2^{\sqrt3}=0, \] а знаменатель \[ \sqrt{7\sin x}=\sqrt{\frac72}\ne0. \] Корни найдены верно.
