реши
Краткий ответ:
а) \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
б) На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]\):
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}}. \]
Решение
ОДЗ:
\[ \sin x>0,\qquad 2\cos x-\sqrt3\ne0. \]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ \log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0. \]
Обозначим:
\[ t=\log_2(\sin x). \]
Тогда:
\[ t^2+t=0, \]
\[ t(t+1)=0. \]
Отсюда:
\(\log_2(\sin x)=0\), поэтому
\[ \sin x=1, \] \[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]\(\log_2(\sin x)=-1\), поэтому
\[ \sin x=\frac12. \]
Тогда:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k. \]
Проверим знаменатель. При \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\):
\[ 2\cos x-\sqrt3=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\sqrt3=0. \]
Эти значения исключаются.
При \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\):
\[ 2\cos x-\sqrt3=2\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)-\sqrt3=-2\sqrt3\ne0. \]
Значит,
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\ \text{или}\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z}. \]
На отрезке \(\left[\frac{\pi}{2};2\pi\right]\) подходят только:
\[ \boxed{\frac{\pi}{2},\ \frac{5\pi}{6}}. \]
Проверка: при \(x=\frac{\pi}{2}\) имеем \(\sin x=1\), а при \(x=\frac{5\pi}{6}\) — \(\sin x=\frac12\); в обоих случаях числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.
