реши
Вычисление корней на интервале
Мне нужно найти интервал от -4π до -5π/2, что соответствует значениям от -12.566 до примерно -7.854 и даёт длину 1.5π. Теперь нужно перечислить корни. Я буду внимательно перечислять их. Для семейства A имею x = π/2 + πk. Нужно составить неравенство -4π ≤ π/2 + πk ≤ -5π/2, чтобы определить подходящие значения k.
Анализ значений k
Я работаю с границами для k, где .5 ≤ k ≤ -3. Целые значения k могут быть -4 и -3. При k=-4 получаю корень -7π/2, а при k=-3 — -5π/2. Нужно проверить, где sin=-1, и рассмотреть интервалы для x. Мои вычисления последовательностей указывают на k=-2 как на решение, но конечные значения вызывают затруднения. Полученные значения x показывают, что, хотя -2 подходит, остальные не подходят. Это сложная проверка!
Проверка целочисленных значений
Я нахожу значения k и проверяю, подходит ли k=-2. Но подождите, -2 на самом деле больше -2.125, значит, включить его нельзя! Интервал от -2.875 до -2.125 также не содержит целых чисел, что исключает дальнейшие варианты. Даже рассмотрение -2.5 не даёт целого числа. Значит, в этом диапазоне нет целых чисел. Немного разочаровывает, но хорошо, что я перепроверил!
Анализ уравнений с синусом
Я нахожу общее решение для sin² x = 1, что даёт sin x = ±1 и приводит к x = π/2 + πk. Для sin x = -√2/2 углы имеют вид x = 5π/4 + 2πk или x = 7π/4 + 2πk. Затем рассматривается вывод множителя 2 sin³ x = √2 cos² x + 2 sin x. Я заменяю cos² на 1 - sin² и получаю кубическое уравнение: 2s³ + √2s² - 2s - √2 = 0. Оно удобно раскладывается как (s² - 1)(2s + √2) = 0.
Краткий ответ:
а)
\[
x=\frac{\pi}{2}+\pi k
\quad\text{или}\quad
x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k
\quad\text{или}\quad
x=\frac{7\pi}{4}+2\pi k,
\qquad k\in\mathbb Z.
\]
б) На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\) корни: \[ \boxed{x=-\frac{7\pi}{2},\;-\frac{11\pi}{4},\;-\frac{5\pi}{2}}. \]
Решение
Пусть \[ s=\sin x. \] Используем тождество \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\[ 2\sin^3x=\sqrt2\cos^2x+2\sin x, \]
\[ 2s^3=\sqrt2(1-s^2)+2s. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 2s^3+\sqrt2s^2-2s-\sqrt2=0. \]
Сгруппируем слагаемые:
\[ 2s(s^2-1)+\sqrt2(s^2-1)=0, \]
\[ (s^2-1)(2s+\sqrt2)=0. \]
Отсюда:
\[ s^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=\pm1. \] Значит, \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
\[ 2s+\sqrt2=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Тогда \[ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{4}+2\pi k. \]
Отбор корней на отрезке
Для \[ x=\frac{\pi}{2}+\pi k \] подходят \(k=-4,-3\):
\[ x=-\frac{7\pi}{2},\qquad x=-\frac{5\pi}{2}. \]
Для \[ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k \] подходит \(k=-2\):
\[ x=-\frac{11\pi}{4}. \]
Вторая ветвь \[ x=\frac{7\pi}{4}+2\pi k \] корней на данном отрезке не даёт.
Проверка: у первых двух корней \(\sin^2x=1\), а у третьего \(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому каждый из них обращает один из множителей в ноль.
Обсуждение
2 сообщенияРеши
Решим уравнение: \[ 2\cos x-\sqrt3\sin^2x=2\cos^3x. \]
Используем \[ \sin^2x=1-\cos^2x. \]
Тогда: \[ 2\cos x-\sqrt3(1-\cos^2x)=2\cos^3x. \]
Перенесём всё в одну сторону: \[ 2\cos^3x-\sqrt3\cos^2x-2\cos x+\sqrt3=0. \]
Разложим на множители: \[ \cos^2x(2\cos x-\sqrt3)-(2\cos x-\sqrt3)=0, \] \[ (\cos^2x-1)(2\cos x-\sqrt3)=0. \]
Отсюда:
\[ \cos^2x-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x=\pm1, \] \[ x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
\[ 2\cos x-\sqrt3=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6},\qquad k\in\mathbb Z. \]
Ответ: \[ \boxed{x=\pi k\quad\text{или}\quad x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6},\quad k\in\mathbb Z.} \]
Правая часть условия пункта б на фото обрезана. На каком отрезке нужно указать корни?
