Решить

Краткие ответы

1. ОДЗ

а) \(y=\dfrac{5x}{4-x}\)

\[ D(y)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty) \]

б) \(y=\dfrac{2}{x^2-25}\)

\[ D(y)=(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty) \]

в) \(y=\sqrt{3x-6}\)

\[ D(y)=[2;+\infty) \]

г) \(y=\sqrt[4]{\dfrac{5-x}{x+3}}\)

\[ D(y)=(-3;5] \]

д) \(y=\sqrt[7]{7x-14}\)

\[ D(y)=\mathbb R \]

Последний пункт на фото читается неоднозначно:

• если \(y=\sqrt{7-x}-\dfrac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x+1}}\), то
  \[ D(y)=(-1;7]; \]
• если первый корень имеет индекс \(7\), то
  \[ D(y)=(-1;+\infty). \]

2. Чётность

а) \(y=2x^4-5x^6+\dfrac12x^2\) — чётная.

б) \(y=\dfrac{9x^4}{5x^2-6}\) — чётная.

в) \(y=\dfrac23x^9+\dfrac14x^2-3x\) — ни чётная, ни нечётная.

3. Монотонность

а) \(y=\dfrac5{x+1},\ x<-1\) — убывает на \((-\infty;-1)\).

б) \(y=\dfrac1{(x-3)^2},\ x>3\) — убывает на \((3;+\infty)\).

---

Ключевые шаги

1. Как находить ОДЗ

• знаменатель не должен быть равен нулю;
• подкоренное выражение чётного корня должно быть \(\ge 0\);
• подкоренное выражение чётного корня в знаменателе должно быть \(>0\);
• нечётный корень определён при любом действительном \(x\).

Для пункта г:

\[ \frac{5-x}{x+3}\ge0. \]

Критические точки: \(-3\) и \(5\). Получаем:

\[ x\in(-3;5]. \]

Точка \(-3\) исключается из-за знаменателя, а \(5\) включается, потому что дробь равна нулю.

Для последней функции:

\[ 7-x\ge0\Rightarrow x\le7, \]

а поскольку \(\sqrt{x+1}\) находится в знаменателе,

\[ x+1>0\Rightarrow x>-1. \]

Пересечение условий:

\[ x\in(-1;7]. \]

2. Проверка чётности

Функция чётная, если её область определения симметрична относительно нуля и

\[ f(-x)=f(x). \]

В первых двух функциях встречаются только чётные степени \(x\), поэтому:

\[ f(-x)=f(x). \]

В пункте в:

\[ f(-x)=-\frac23x^9+\frac14x^2+3x. \]

Это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\), значит функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. Производные

а)

\[ y=\frac5{x+1},\qquad y'=-\frac5{(x+1)^2}<0. \]

Следовательно, функция убывает.

б)

\[ y=\frac1{(x-3)^2},\qquad y'=-\frac2{(x-3)^3}<0 \]

при \(x>3\). Поэтому функция также убывает.