Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(60^\circ\)
- \(5\)
- \(480\)
- \(60^\circ\)
- \(60^\circ\)
Решение
№1
Пусть ребро куба равно \(a\). Введём координаты:
\[ A(0,0,0),\quad B(a,0,0),\quad C(a,a,0),\quad C_1(a,a,a). \]
Тогда:
\[ K\left(a,\frac a2,0\right),\quad L\left(\frac a2,a,0\right),\quad M\left(a,a,\frac a2\right). \]
Векторы:
\[ \overrightarrow{LK}=\left(\frac a2,-\frac a2,0\right), \qquad \overrightarrow{LM}=\left(\frac a2,0,\frac a2\right). \]
Скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{LK}\cdot\overrightarrow{LM}=\frac{a^2}{4}. \]
Длины векторов:
\[ |\overrightarrow{LK}|=|\overrightarrow{LM}|=\frac{a}{\sqrt2}. \]
По формуле косинуса:
\[ \cos\angle MLK= \frac{a^2/4}{(a/\sqrt2)^2} =\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\angle MLK=60^\circ}. \]
№2
Введём координаты:
\[ A(0,0,0),\quad B(2,0,0),\quad D(0,\sqrt5,0),\quad A_1(0,0,2). \]
Так как \(K\) — середина \(BB_1\), то
\[ K(2,0,1). \]
Плоскость \(A_1D_1K\) имеет уравнение
\[ x+2z=4. \]
Она пересекает грань \(ABB_1A_1\) по отрезку \(A_1K\), а противоположную грань — по отрезку \(D_1N\), где \(N\) — середина \(CC_1\). Сечение — прямоугольник \(A_1D_1NK\).
Его стороны:
\[ A_1D_1=AD=\sqrt5, \]
\[ A_1K=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5. \]
Площадь:
\[ S=\sqrt5\cdot\sqrt5=\boxed{5}. \]
№3
Сечение проходит через \(A\), \(A_1\) и \(C\). Так как через \(C\) проходит ребро \(CC_1\), параллельное \(AA_1\), плоскость сечения содержит и точку \(C_1\).
Получается прямоугольник \(AA_1C_1C\).
Диагональ основания:
\[ AC=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{12^2+9^2} =\sqrt{225}=15. \]
Площадь сечения:
\[ S=AA_1\cdot AC=32\cdot15=\boxed{480}. \]
№4
Пусть ребро куба равно \(a\). Возьмём направляющие векторы:
\[ \overrightarrow{AD_1}=(0,a,a), \qquad \overrightarrow{B_1D_1}=(-a,a,0). \]
Тогда
\[ \overrightarrow{AD_1}\cdot\overrightarrow{B_1D_1}=a^2. \]
Длины обоих векторов равны \(a\sqrt2\). Поэтому
\[ \cos\varphi= \frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2} =\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\varphi=60^\circ}. \]
№5
Обозначим:
\[ AB=a,\qquad AD=b,\qquad AA_1=c. \]
Диагональ \(BD_1\) — пространственная диагональ параллелепипеда, поэтому
\[ BD_1^2=a^2+b^2+c^2. \]
По условию \(BD_1=2AD=2b\), значит
\[ a^2+b^2+c^2=4b^2, \]
\[ a^2+c^2=3b^2. \]
Возьмём векторы:
\[ \overrightarrow{DB_1}=(a,-b,c), \qquad \overrightarrow{AC_1}=(a,b,c). \]
Их скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AC_1} =a^2-b^2+c^2 =(a^2+c^2)-b^2 =2b^2. \]
Длины диагоналей:
\[ |DB_1|=|AC_1|=BD_1=2b. \]
Тогда
\[ \cos\varphi= \frac{2b^2}{2b\cdot2b} =\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\varphi=60^\circ}. \]
