Реши задание на изображении
Анализ математических равенств
Я проверяю некоторые математические равенства, чтобы определить, какие из них ошибочны. Например, первое равенство \(m^5 \cdot m^3 = m^8\) верно. Однако второе, где \(m^{12}\), делённое на \(m^3\), равно \(m^4\), неверно; должно быть \(m^9\). Аналогично, уравнение с \(7^4\) и \(49^6\) также неверно. Я также нахожу некоторые ошибки в равенстве с \((m^6 n^6)\), равным \((mn)^{12}\). Похоже, после этого мне нужно решить ещё несколько уравнений!
Вычисление множителей и частных
Я начинаю с уравнения \(36=2^2*3^2\) и преобразую его дальше с \( ^5 = 2^{10}*3^{10} \). При делении получаю \(2^{1}*3^{2}=18\). Теперь, рассматривая \(6: 18^4/12^5\), я раскладываю \(18\) на \(2*3^{2}\), а \(12\) — на \(2^{2}*3\). В числителе получаю \(2^{4}*3^{8}\), а в знаменателе — \(2^{10}*3^{5}\), что приводит к \(3^{3}/2^{6}=27/64\).
Проверка правил возведения в степень
Я анализирую некоторые правила возведения в степень. Первое уравнение \(m^{3*2}m^4 = m^{10}\) должно давать \(m^{24}\), но на самом деле это неверно. Затем я рассматриваю \((m^7)^2:(m^3)^3\), что упрощается до \(m^{14-9} = m^5\), и это верно, если \(m\) не равно 0. Похоже, я всё перепроверил и чувствую себя лучше! Продолжим с этими правилами!
Краткий ответ
71.
- \(33\); 2) \(28\); 3) \(125\); 4) \(96\); 5) \(18\); 6) \(\dfrac{27}{64}\).
72. Ошибочны равенства 2, 3, 4, 5.
73.
- \(x=3\); 2) \(x=-1\); 3) \(x=\pm1\); 4) \(x=1\); 5) решений нет.
71. Упростим выражения
Используем свойства степеней:
\[ a^n b^n=(ab)^n,\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
\[ \frac{3^7\cdot11^7}{33^6} =\frac{(3\cdot11)^7}{33^6} =\frac{33^7}{33^6}=33. \]
\[ \frac{28^6}{7^5\cdot4^5} =\frac{(7\cdot4)^6}{7^5\cdot4^5} =7^{6-5}\cdot4^{6-5}=28. \]
\[ \frac{5^8\cdot9^5}{45^5} =\frac{5^8\cdot9^5}{(5\cdot9)^5} =5^{8-5}=5^3=125. \]
Так как \(54=2\cdot3^3\), то
\[ \frac{3^{16}\cdot2^{10}}{54^5} =\frac{3^{16}\cdot2^{10}}{2^5\cdot3^{15}} =3^{1}\cdot2^5=3\cdot32=96. \]
- Так как \(36=2^2\cdot3^2\), то
\[ \frac{36^5}{2^9\cdot3^8} =\frac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^9\cdot3^8} =2\cdot3^2=18. \]
- Так как \(18=2\cdot3^2\), \(12=2^2\cdot3\), то
\[ \frac{18^4}{12^5} =\frac{2^4\cdot3^8}{2^{10}\cdot3^5} =\frac{3^3}{2^6} =\frac{27}{64}. \]
72. Проверим равенства
- \(\ m^5\cdot m^3=m^8\) — верно.
- \(\ m^{12}:m^3=m^9\), а не \(m^4\) — ошибочно.
- \(\ 7^4\cdot7^2=7^6\), а \(49^6=(7^2)^6=7^{12}\) — ошибочно.
- \(\ m^6n^6=(mn)^6\), а не \((mn)^{12}\) — ошибочно.
- \(\ (m^3)^2m^4=m^6m^4=m^{10}\), а не \(m^{24}\) — ошибочно.
- \[ (m^7)^2:(m^3)^3=m^{14}:m^9=m^5 \] — верно.
73. Решим уравнения
\[ (x-3)^7=0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
\[ x^9=-1. \] Так как степень нечётная, \(x=-1\).
\[ x^6=1 \Rightarrow x=1 \text{ или } x=-1. \]
\[ x^5-1=0 \Rightarrow x^5=1 \Rightarrow x=1. \]
\[ x^8+1=0 \Rightarrow x^8=-1. \] Но \(x^8\ge0\) для любого действительного \(x\), поэтому решений нет.
Обсуждение
2 сообщенияКак написать на тетради
В тетради можно записать так:
№ 71
\[ \begin{aligned} 1)\quad &\frac{3^7\cdot11^7}{33^6} =\frac{33^7}{33^6}=33;\\[4pt] 2)\quad &\frac{28^6}{7^5\cdot4^5} =\frac{(7\cdot4)^6}{7^5\cdot4^5} =7\cdot4=28;\\[4pt] 3)\quad &\frac{5^8\cdot9^5}{45^5} =\frac{5^8\cdot9^5}{5^5\cdot9^5} =5^3=125;\\[4pt] 4)\quad &\frac{3^{16}\cdot2^{10}}{54^5} =\frac{3^{16}\cdot2^{10}}{3^{15}\cdot2^5} =3\cdot2^5=96;\\[4pt] 5)\quad &\frac{36^5}{2^9\cdot3^8} =\frac{2^{10}\cdot3^{10}}{2^9\cdot3^8} =2\cdot3^2=18;\\[4pt] 6)\quad &\frac{18^4}{12^5} =\frac{2^4\cdot3^8}{2^{10}\cdot3^5} =\frac{3^3}{2^6}=\frac{27}{64}. \end{aligned} \]
Ответ: \(33;\ 28;\ 125;\ 96;\ 18;\ \dfrac{27}{64}\).
№ 72
\[ \begin{aligned} 1)\quad&m^5\cdot m^3=m^8\ — \text{верно};\\ 2)\quad&m^{12}:m^3=m^9\ne m^4\ — \text{неверно};\\ 3)\quad&7^4\cdot7^2=7^6\ne49^6\ — \text{неверно};\\ 4)\quad&m^6n^6=(mn)^6\ne(mn)^{12}\ — \text{неверно};\\ 5)\quad&(m^3)^2\cdot m^4=m^{10}\ne m^{24}\ — \text{неверно};\\ 6)\quad&(m^7)^2:(m^3)^3=m^{14}:m^9=m^5\ — \text{верно}. \end{aligned} \]
Ответ: неверные равенства — 2, 3, 4, 5.
№ 73
\[ \begin{aligned} 1)\quad &(x-3)^7=0,\\ &x-3=0,\quad x=3;\\[4pt] 2)\quad &x^9=-1,\quad x=-1;\\[4pt] 3)\quad &x^6=1,\quad x=\pm1;\\[4pt] 4)\quad &x^5-1=0,\\ &x^5=1,\quad x=1;\\[4pt] 5)\quad &x^8+1=0,\\ &x^8=-1. \end{aligned} \]
Так как \(x^8\ge 0\), уравнение не имеет решений.
Ответ:
- \(3\); 2) \(-1\); 3) \(-1;1\); 4) \(1\); 5) решений нет.
