Номер 12.27 , с графиком

Краткий ответ:

\[ y= \begin{cases} -4x, & x\le -2,\\ 4-2x, & -2\le x\le 1,\\ 2x, & x\ge 1. \end{cases} \]

График состоит из трёх частей прямых и имеет вершины:

\[ (-2;8),\qquad (1;2). \]

Построение

Точки смены знака под модулями:

\[ x+2=0\Rightarrow x=-2,\qquad x-1=0\Rightarrow x=1. \]

1. При \(x\le -2\):

Оба выражения под модулями отрицательны:

\[ y=-(x+2)+2(-(x-1))-x=-4x. \]

Это луч, проходящий через точки \((-2;8)\), \((-3;12)\).

2. При \(-2\le x\le1\):

\[ x+2\ge0,\qquad x-1\le0, \]

поэтому

\[ y=x+2+2(1-x)-x=4-2x. \]

Это отрезок от \((-2;8)\) до \((1;2)\). Для построения можно взять точку \((0;4)\).

3. При \(x\ge1\):

Оба выражения под модулями неотрицательны:

\[ y=x+2+2(x-1)-x=2x. \]

Это луч, начинающийся в точке \((1;2)\) и проходящий, например, через \((2;4)\).

Проверка:

\[ f(-2)=8,\qquad f(1)=2, \]

значения совпадают на соседних участках, поэтому график соединяется без разрыва. Минимальное значение функции — \(2\) при \(x=1\).