Решать задачи 2,107
Краткий ответ:
а) \(\operatorname{НОД}(13;26)=13\);
б) \(\operatorname{НОД}(8;12)=4\);
в) \(\operatorname{НОД}(60;75)=15\);
г) \(\operatorname{НОД}(64;128)=64\);
д) \(\operatorname{НОД}(3375;5625)=1125\).
Решение:
а) \(26=13\cdot2\), значит, 13 делит оба числа: \[ \operatorname{НОД}(13;26)=13. \]
б) Разложим числа на множители: \[ 8=2^3,\qquad 12=2^2\cdot3. \] Общие множители: \(2^2=4\), поэтому \[ \operatorname{НОД}(8;12)=4. \]
в) \[ 60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 75=3\cdot5^2. \] Общие множители: \(3\cdot5=15\), значит \[ \operatorname{НОД}(60;75)=15. \]
г) \(128=64\cdot2\), поэтому 64 является наибольшим общим делителем: \[ \operatorname{НОД}(64;128)=64. \]
д) \[ 3375=3^3\cdot5^3,\qquad 5625=3^2\cdot5^4. \] Берём общие простые множители в наименьших степенях: \[ \operatorname{НОД}(3375;5625)=3^2\cdot5^3=9\cdot125=1125. \]
Проверка последнего ответа: \[ 3375:1125=3,\qquad 5625:1125=5, \] значит, 1125 делит оба числа.
Обсуждение
2 сообщенияНужно сделать длинный
Конечно, распишем подробно, со всеми действиями.
Нужно найти НОД — наибольший общий делитель чисел.
а) \(13\) и \(26\)
Разложим числа на множители:
\[ 13=13, \]
\[ 26=2\cdot13. \]
Общий множитель у чисел \(13\) и \(26\) — это \(13\).
\[ \boxed{\operatorname{НОД}(13;26)=13} \]
б) \(8\) и \(12\)
Разложим числа на простые множители:
\[ 8=2\cdot2\cdot2=2^3, \]
\[ 12=2\cdot2\cdot3=2^2\cdot3. \]
Общие множители:
\[ 2\cdot2=4. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\operatorname{НОД}(8;12)=4} \]
Проверка:
\[ 8:4=2,\qquad 12:4=3. \]
в) \(60\) и \(75\)
Разложим числа на простые множители:
\[ 60=2\cdot2\cdot3\cdot5, \]
\[ 75=3\cdot5\cdot5. \]
Общие множители — \(3\) и \(5\):
\[ 3\cdot5=15. \]
Значит,
\[ \boxed{\operatorname{НОД}(60;75)=15} \]
Проверка:
\[ 60:15=4,\qquad 75:15=5. \]
г) \(64\) и \(128\)
Разложим числа на множители:
\[ 64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6, \]
\[ 128=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^7. \]
Берём общие множители:
\[ 2^6=64. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\operatorname{НОД}(64;128)=64} \]
Проверка:
\[ 64:64=1,\qquad 128:64=2. \]
д) \(3375\) и \(5625\)
Разложим первое число:
\[ 3375=3\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5. \]
И второе число:
\[ 5625=3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5. \]
Общие множители:
\[ 3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5. \]
Выполним вычисления:
\[ 3\cdot3=9, \]
\[ 5\cdot5\cdot5=125, \]
\[ 9\cdot125=1125. \]
Значит,
\[ \boxed{\operatorname{НОД}(3375;5625)=1125} \]
Проверка:
\[ 3375:1125=3, \]
\[ 5625:1125=5. \]
Ответ:
\[ \boxed{13;\ 4;\ 15;\ 64;\ 1125} \]
