Реши задание на изображении
Понимание уравнений с квадратными корнями
Мне интересно упражнение из учебника, связанное с уравнениями, в частности такое, в котором может требоваться определить область определения заданного выражения. Похоже, вопрос побуждает меня внимательнее прочитать условие, чтобы полностью понять контекст. Важно проанализировать последствия наличия квадратных корней в уравнениях, поскольку они могут влиять на границы множества решений. Итак, давайте внимательнее рассмотрим детали!
Проверка уравнений
Я проверяю возможные подстановки, чтобы определить все допустимые неотрицательные значения x, удовлетворяющие уравнениям. Похоже, что в случаях, когда решений нет, левая часть положительна. Я мог бы привести такие примеры, как √64=8, и проверить значения x=64, x=4/9, x=9 и x=25, которые во всех случаях приводили к нулевой разности. Но ни одно решение не подходит, поскольку корень неотрицателен. Думаю, мне нужно чётко сформулировать итоговый вывод для следующих шагов.
Ответ для всех видимых на фото уравнений:
\[ \begin{aligned} &\sqrt{x}-8=0 &&\Rightarrow x=64;\\ &3\sqrt{x}-2=0 &&\Rightarrow x=\frac49;\\ &\sqrt{x}+1=0 &&\Rightarrow \text{решений нет};\\ &\sqrt{x}-3=0 &&\Rightarrow x=9;\\ &5-\sqrt{x}=0 &&\Rightarrow x=25;\\ &2+\sqrt{x}=0 &&\Rightarrow \text{решений нет}. \end{aligned} \]
Основной принцип
Квадратный корень существует только при \(x\ge 0\), причём
\[ \sqrt{x}\ge 0. \]
Если получилось уравнение \(\sqrt{x}=a\), то:
- при \(a\ge 0\): \(x=a^2\);
- при \(a<0\): решений нет.
Например:
\[ 3\sqrt{x}-2=0 \]
\[ 3\sqrt{x}=2,\qquad \sqrt{x}=\frac23, \]
\[ x=\left(\frac23\right)^2=\frac49. \]
Проверка
\[ \sqrt{64}-8=8-8=0; \]
\[ 3\sqrt{\frac49}-2=3\cdot\frac23-2=0; \]
\[ \sqrt9-3=3-3=0; \]
\[ 5-\sqrt{25}=5-5=0. \]
В уравнениях \(\sqrt{x}+1=0\) и \(2+\sqrt{x}=0\) решений нет, потому что квадратный корень не может быть отрицательным.
