Nº459 (a), Nº460(a), Nº461 (а,в), выучить теорию

Краткий ответ

№459(а): \[ (x,y)=(2,1),\ (2,-3),\ (-2,3),\ (-2,-1). \]

№460(а): \[ (x,y)=(0,0),\ \left(\frac12,\frac13\right). \]

№461(а): \[ (x,y)=\left(-\frac{\sqrt{39}}3,\frac{\sqrt{39}}6\right),\ \left(\frac{\sqrt{39}}3,-\frac{\sqrt{39}}6\right). \]

№461(в): \[ (x,y)\in\{(5,1),(5,-1),(-5,1),(-5,-1)\}. \]

---

№459(а)

\[ \begin{cases} 2x^2-xy=y^2+5,\\ x^2-xy=y^2+1. \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ x^2=4, \qquad x=\pm2. \]

Используем второе уравнение:

\[ 4-xy=y^2+1 \quad\Longrightarrow\quad y^2+xy-3=0. \]

1) Если \(x=2\)

\[ y^2+2y-3=0, \]

\[ (y-1)(y+3)=0. \]

Отсюда \(y=1\) или \(y=-3\).

2) Если \(x=-2\)

\[ y^2-2y-3=0, \]

\[ (y-3)(y+1)=0. \]

Отсюда \(y=3\) или \(y=-1\).

Получаем:

\[ \boxed{(2,1),\ (2,-3),\ (-2,3),\ (-2,-1)}. \]

---

№460(а)

\[ \begin{cases} x+y=5xy,\\ x-y=xy. \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ xy=x-y. \]

Подставим это в первое:

\[ x+y=5(x-y). \]

\[ x+y=5x-5y \quad\Longrightarrow\quad 2x=3y, \]

\[ y=\frac{2x}{3}. \]

Теперь подставим во второе уравнение:

\[ x-\frac{2x}{3}=x\cdot\frac{2x}{3}. \]

\[ \frac{x}{3}=\frac{2x^2}{3} \quad\Longrightarrow\quad x(2x-1)=0. \]

Отсюда:

• \(x=0\), тогда \(y=0\);
• \(x=\frac12\), тогда \(y=\frac13\).

Ответ:

\[ \boxed{(0,0),\ \left(\frac12,\frac13\right)}. \]

Проверка для второй пары:

\[ \frac12+\frac13=\frac56=5\cdot\frac16, \]

\[ \frac12-\frac13=\frac16=\frac12\cdot\frac13. \]

---

№461(а)

\[ \begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-\dfrac52,\\ x^2-y^2=\dfrac{13}{4}. \end{cases} \]

Так как в уравнении есть дроби, то \(x\ne0\) и \(y\ne0\).

Обозначим:

\[ t=\frac{x}{y}. \]

Тогда

\[ \frac{y}{x}=\frac1t. \]

Получаем:

\[ t+\frac1t=-\frac52. \]

Умножим на \(2t\):

\[ 2t^2+5t+2=0. \]

Разложим на множители:

\[ (2t+1)(t+2)=0. \]

Значит,

\[ t=-\frac12 \quad\text{или}\quad t=-2. \]

1) \(t=-\frac12\)

\[ x=-\frac y2. \]

Тогда

\[ x^2-y^2=\frac{y^2}{4}-y^2=-\frac{3y^2}{4}, \]

а это не может быть равно положительному числу \(\frac{13}{4}\). Этот случай отбрасываем.

2) \(t=-2\)

\[ x=-2y. \]

Подставим:

\[ 4y^2-y^2=\frac{13}{4}, \]

\[ 3y^2=\frac{13}{4}, \qquad y^2=\frac{13}{12}. \]

\[ y=\pm\frac{\sqrt{39}}6. \]

Тогда

\[ x=-2y=\mp\frac{\sqrt{39}}3. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \left(-\frac{\sqrt{39}}3,\frac{\sqrt{39}}6\right),\ \left(\frac{\sqrt{39}}3,-\frac{\sqrt{39}}6\right) }. \]

---

№461(в)

\[ \begin{cases} |x|+|y|=6,\\ x^2-y^2=24. \end{cases} \]

Положим:

\[ a=|x|,\qquad b=|y|. \]

Тогда \(a\ge0,\ b\ge0\), и система принимает вид:

\[ \begin{cases} a+b=6,\\ a^2-b^2=24. \end{cases} \]

Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

\[ (a-b)\cdot6=24, \qquad a-b=4. \]

Решаем систему:

\[ \begin{cases} a+b=6,\\ a-b=4. \end{cases} \]

Получаем:

\[ a=5,\qquad b=1. \]

Значит,

\[ |x|=5,\qquad |y|=1. \]

Знаки могут быть любыми:

\[ \boxed{(5,1),\ (5,-1),\ (-5,1),\ (-5,-1)}. \]

Проверка:

\[ |x|+|y|=5+1=6, \qquad x^2-y^2=25-1=24. \]

---

Теория для запоминания

1. Решение уравнения с двумя переменными — это упорядоченная пара \((x,y)\), которая обращает уравнение в верное равенство.

2. Решение системы — это пара, которая одновременно удовлетворяет всем уравнениям системы.

3. Основные методы решения систем:

   • подстановка — выразить одну переменную и подставить;
   • сложение или вычитание уравнений — исключить одну из переменных;
   • замена выражения — например, \(xy=x-y\);
   • введение новой переменной — например, \(t=\frac{x}{y}\).

4. Если есть дроби, обязательно учитывать область допустимых значений: \[ \frac{x}{y},\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad x\ne0,\ y\ne0. \]

5. Полезные формулы: \[ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \] \[ x^2-y^2=|x|^2-|y|^2=(|x|-|y|)(|x|+|y|). \]

6. Нельзя делить на выражение, не проверив, что оно не равно нулю. После решения желательно сделать проверку в исходной системе.