219

Разберём подробно уравнение:

\[ (y-1)^4+(y+1)^4=16. \]

Нужно найти все значения \(y\).

1. Раскрываем четвёртые степени

Используем формулы:

\[ (a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4, \]

\[ (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4. \]

В нашем случае \(a=y\), \(b=1\).

Поэтому:

\[ (y-1)^4=y^4-4y^3+6y^2-4y+1, \]

\[ (y+1)^4=y^4+4y^3+6y^2+4y+1. \]

Подставляем в исходное уравнение:

\[ y^4-4y^3+6y^2-4y+1+ y^4+4y^3+6y^2+4y+1=16. \]

2. Приводим подобные слагаемые

Складываем одинаковые слагаемые:

• \(y^4+y^4=2y^4\);
• \(-4y^3+4y^3=0\);
• \(6y^2+6y^2=12y^2\);
• \(-4y+4y=0\);
• \(1+1=2\).

Получаем:

\[ 2y^4+12y^2+2=16. \]

3. Переносим всё в левую часть

Вычтем \(16\) из обеих частей:

\[ 2y^4+12y^2+2-16=0, \]

\[ 2y^4+12y^2-14=0. \]

Все коэффициенты делятся на \(2\), поэтому делим уравнение на \(2\):

\[ y^4+6y^2-7=0. \]

4. Делаем замену

В уравнении есть \(y^4\) и \(y^2\). Заметим:

\[ y^4=(y^2)^2. \]

Поэтому обозначим:

\[ t=y^2. \]

Тогда \(y^4=t^2\), и уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ t^2+6t-7=0. \]

5. Решаем квадратное уравнение

Разложим выражение на множители:

\[ t^2+6t-7=(t-1)(t+7). \]

Проверка раскрытием скобок:

\[ (t-1)(t+7)=t^2+7t-t-7=t^2+6t-7. \]

Значит:

\[ (t-1)(t+7)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ t-1=0 \quad \text{или} \quad t+7=0. \]

Отсюда:

\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=-7. \]

6. Возвращаемся к \(y\)

Мы вводили замену \(t=y^2\), поэтому:

Если \(t=1\):

\[ y^2=1, \]

значит:

\[ y=1 \quad \text{или} \quad y=-1. \]

Если \(t=-7\):

\[ y^2=-7. \]

Такого быть не может, потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен:

\[ y^2\geq 0. \]

Поэтому значение \(t=-7\) отбрасываем.

Ответ

\[ \boxed{y=-1;\ y=1}. \]

Проверка

При \(y=1\):

\[ (1-1)^4+(1+1)^4=0^4+2^4=16. \]

При \(y=-1\):

\[ (-1-1)^4+(-1+1)^4=(-2)^4+0^4=16. \]

Оба значения подходят.

Ничего страшного — формулу для четвёртой степени знать не нужно. Решим через квадраты.

Дано:

\[ (y-1)^4+(y+1)^4=16. \]

1. Представим четвёртые степени как квадраты

\[ (y-1)^4=\bigl((y-1)^2\bigr)^2, \]

\[ (y+1)^4=\bigl((y+1)^2\bigr)^2. \]

Обозначим:

\[ a=(y-1)^2,\qquad b=(y+1)^2. \]

Тогда уравнение выглядит так:

\[ a^2+b^2=16. \]

2. Используем обычную формулу для квадрата суммы

Из формулы

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

получаем:

\[ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab. \]

Значит:

\[ 16=(a+b)^2-2ab. \]

3. Найдём \(a+b\) и \(ab\)

Сначала:

\[ a+b=(y-1)^2+(y+1)^2. \]

Раскрываем только обычные квадраты:

\[ (y-1)^2=y^2-2y+1, \]

\[ (y+1)^2=y^2+2y+1. \]

Тогда:

\[ a+b=y^2-2y+1+y^2+2y+1=2y^2+2=2(y^2+1). \]

Теперь найдём произведение:

\[ ab=(y-1)^2(y+1)^2. \]

Можно объединить множители:

\[ ab=\bigl((y-1)(y+1)\bigr)^2. \]

По формуле разности квадратов:

\[ (y-1)(y+1)=y^2-1. \]

Значит:

\[ ab=(y^2-1)^2. \]

Подставляем:

\[ 16=\bigl(2(y^2+1)\bigr)^2-2(y^2-1)^2. \]

4. Сделаем замену

Пусть

\[ t=y^2. \]

Тогда:

\[ 16=4(t+1)^2-2(t-1)^2. \]

Разделим на \(2\):

\[ 8=2(t+1)^2-(t-1)^2. \]

Раскрываем теперь только обычные квадраты:

\[ (t+1)^2=t^2+2t+1, \]

\[ (t-1)^2=t^2-2t+1. \]

Получаем:

\[ 8=2(t^2+2t+1)-(t^2-2t+1), \]

\[ 8=2t^2+4t+2-t^2+2t-1, \]

\[ 8=t^2+6t+1. \]

Переносим \(8\) в левую часть:

\[ t^2+6t-7=0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-1)(t+7)=0. \]

Отсюда:

\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=-7. \]

Но \(t=y^2\), а квадрат не может быть отрицательным. Поэтому \(t=-7\) не подходит.

\[ y^2=1. \]

Значит:

\[ \boxed{y=1 \text{ или } y=-1}. \]

Здесь мы использовали только формулы для квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов, но не формулу четвёртой степени.