Реши задание на изображении
Вычисление логарифмической дроби
Сначала упростим числитель:
\[ \log_2(4)+\log_2(\sqrt{10}) =\log_2(4\sqrt{10}). \]
Знаменатель:
\[ \log_2(20)+3\log_2(2) =\log_2(20)+\log_2(2^3) =\log_2(160). \]
Следовательно, дробь равна
\[ \frac{\log_2(4\sqrt{10})}{\log_2(160)}. \]
Так как \(4\sqrt{10}=\sqrt{160}\), то
\[ \log_2(4\sqrt{10}) =\log_2\left(\sqrt{160}\right) =\frac12\log_2(160). \]
Поэтому
\[ \frac{\log_2(4\sqrt{10})}{\log_2(160)} =\frac{\frac12\log_2(160)}{\log_2(160)} =\boxed{\frac12}. \]
[[NEXT]]
Краткий ответ: \[ \boxed{\frac12} \]
Используем свойства логарифмов: \[ \log_a x+\log_a y=\log_a(xy),\qquad k\log_a x=\log_a x^k. \]
Числитель: \[ \log_2 4+\log_2\sqrt{10} =\log_2(4\sqrt{10}) =\log_2\sqrt{160} =\frac12\log_2 160. \]
Знаменатель: \[ \log_2 20+3\log_2 2 =\log_2 20+\log_2 2^3 =\log_2(20\cdot8) =\log_2 160. \]
Тогда \[ \frac{\frac12\log_2 160}{\log_2 160} =\boxed{\frac12}. \]
Проверка: \(\log_2 160\neq0\), так как \(160\neq1\), поэтому сокращение допустимо.
