Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. \(8! = 40\,320\) способов.
2. \(A_{20}^{6}=20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15=27\,907\,200\) способов.
3. \(\binom{10}{6}=210\) способов.
4. \(\dfrac{1}{5!}=\dfrac{1}{120}\).
5. \(\dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{6}{3}}=\dfrac15\).

Решение

1. На первую дорожку можно поставить любого из 8 участников, на вторую — одного из 7 оставшихся и так далее:

\[ 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=8!=40\,320. \]

Ответ: \(40\,320\) способов.

2. Сначала выбираем места для студентов с учётом порядка:

\[ 20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15. \]

Почему именно так: первого студента можно посадить на 20 мест, второго — на 19 свободных, третьего — на 18 и т. д.

\[ 20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15=27\,907\,200. \]

Ответ: \(27\,907\,200\) способов.

3. Порядок выбора книг не важен, поэтому используем сочетания:

\[ \binom{10}{6}= \frac{10!}{6!\,4!} =\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1} =210. \]

Ответ: \(210\) способов.

4. Пять различных ключей можно развесить по пяти крючкам:

\[ 5!=120 \]

равновероятными способами. Только один способ будет правильным — каждый ключ окажется на своём месте.

\[ P=\frac{1}{120}. \]

Ответ: \(\dfrac{1}{120}\).

5. Всего способов выбрать 3 флажка из 6:

\[ \binom{6}{3}=20. \]

Благоприятные варианты — выбрать 3 красных флажка из 4:

\[ \binom{4}{3}=4. \]

Тогда

\[ P=\frac{\binom{4}{3}}{\binom{6}{3}} =\frac{4}{20} =\frac15. \]

Ответ: \(\dfrac15\).