Реши с решением

Краткий ответ:

\[ \frac{3-b^2}{\sqrt3+b}=\sqrt3-b,\qquad b\ne-\sqrt3; \]

\[ \frac{5-\sqrt5}{\sqrt{10}-\sqrt2}=\frac{\sqrt{10}}2; \]

\[ \frac{3\sqrt2-2}{4\sqrt2-7} =-\frac{10+13\sqrt2}{17}. \]

1. Упростим первую дробь

Используем разность квадратов:

\[ 3-b^2=(\sqrt3)^2-b^2=(\sqrt3-b)(\sqrt3+b). \]

Тогда

\[ \frac{3-b^2}{\sqrt3+b} = \frac{(\sqrt3-b)(\sqrt3+b)}{\sqrt3+b} =\sqrt3-b. \]

Ограничение: \(\sqrt3+b\ne0\), поэтому \(b\ne-\sqrt3\).

2. Упростим вторую дробь

Вынесем множители:

\[ 5-\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5-1), \]

\[ \sqrt{10}-\sqrt2=\sqrt2(\sqrt5-1). \]

Следовательно,

\[ \frac{5-\sqrt5}{\sqrt{10}-\sqrt2} = \frac{\sqrt5(\sqrt5-1)} {\sqrt2(\sqrt5-1)} = \frac{\sqrt5}{\sqrt2}. \]

Избавимся от корня в знаменателе:

\[ \frac{\sqrt5}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2} = \frac{\sqrt{10}}2. \]

3. Упростим третью дробь

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(4\sqrt2+7\):

\[ \frac{3\sqrt2-2}{4\sqrt2-7} \cdot \frac{4\sqrt2+7}{4\sqrt2+7}. \]

Числитель:

\[ (3\sqrt2-2)(4\sqrt2+7) =24+21\sqrt2-8\sqrt2-14 =10+13\sqrt2. \]

Знаменатель:

\[ (4\sqrt2-7)(4\sqrt2+7) =(4\sqrt2)^2-7^2 =32-49=-17. \]

Поэтому

\[ \frac{3\sqrt2-2}{4\sqrt2-7} = \frac{10+13\sqrt2}{-17} = -\frac{10+13\sqrt2}{17}. \]

Проверка

\[ (\sqrt3-b)(\sqrt3+b)=3-b^2, \]

\[ \frac{\sqrt{10}}2(\sqrt{10}-\sqrt2)=5-\sqrt5, \]

\[ -\frac{10+13\sqrt2}{17}(4\sqrt2-7)=3\sqrt2-2. \]