номер 4.2 и 4.3
Изучение рациональных показателей
Я понимаю, что это упражнение, скорее всего, посвящено преобразованию корней в рациональные показатели, и хочу убедиться, что выполняю его абсолютно правильно. Например, я вижу такие выражения, как \(\sqrt{2a}\), \(\sqrt[3]{3x}\), \(\sqrt[4]{5x^3}\), \(\sqrt{2xy^3}\) и \(\sqrt[5]{8a^2b^3}\). Мне нужно внимательнее рассмотреть каждое из них, чтобы точно выполнить преобразование. Давайте начнём!
Проверка точности расшифровки
Мне нужно быть осторожным с пунктом g, потому что неправильная расшифровка представляет высокий риск. Возможно, стоит предварить его словами: «На фото пункт 4.2г читается как...». Это поможет прояснить ситуацию и предоставить контекст. Важно точно передать информацию, поэтому здесь нужно тщательно выбирать слова, чтобы избежать недоразумений.
Изучение корней и закономерностей
Я размышляю о том, почему использовал бы одновременно \(\sqrt[4]{x^3}\) и \(\sqrt{x^3}\). Интересно потренироваться с разными знаменателями. Если бы под четвёртым корнем стояло \(\sqrt[4]{x}\), показателя не было бы. Когда я мысленно рассматриваю знак корня, замечаю, что там стоит \(`x^3`\). Что, если использовать такие выражения, как \(\sqrt[4]{x}\), \(\sqrt[3]{x^2}\) и \(\sqrt{x^3}\)? Я вижу возможную закономерность с несколькими подходящими форматами. Мне интересно, что пробел после корня с индексом 4 подчёркивает крошечный верхний индекс!
Краткий ответ
4.2. Запишите в виде степени с рациональным показателем
а)
\[
\sqrt2=2^{\frac12},\quad
\sqrt5=5^{\frac12},\quad
\sqrt7=7^{\frac12},
\]
\[
\sqrt{\frac13}=\left(\frac13\right)^{\frac12},\quad
\sqrt{1\frac13}=\left(1\frac13\right)^{\frac12}.
\]
б)
\[
\sqrt[3]{4}=4^{\frac13},\quad
\sqrt[3]{7}=7^{\frac13},\quad
\sqrt[3]{0{,}1}=(0{,}1)^{\frac13},
\]
\[
\sqrt[3]{\frac12}=\left(\frac12\right)^{\frac13},\quad
\sqrt[3]{2{,}5}=(2{,}5)^{\frac13}.
\]
в)
\[
\sqrt[3]{2^2}=2^{\frac23},\quad
\sqrt[4]{3^5}=3^{\frac54},\quad
\sqrt[6]{7^5}=7^{\frac56},
\]
\[
\sqrt[3]{3^7}=3^{\frac73},\quad
\sqrt[5]{2^3}=2^{\frac35}.
\]
г)
\[
\sqrt[4]{a^3}=a^{\frac34},\quad
\sqrt[4]{a}=a^{\frac14},\quad
\sqrt{x}=x^{\frac12},
\]
\[
\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac34},\quad
\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23},\quad
\sqrt{x^3}=x^{\frac32}.
\]
д)
\[
\sqrt{2a}=(2a)^{\frac12},\quad
\sqrt[3]{3x}=(3x)^{\frac13},\quad
\sqrt[4]{5x^3}=(5x^3)^{\frac14},
\]
\[
\sqrt{2xy^3}=(2xy^3)^{\frac12},\quad
\sqrt[5]{8a^2b^3}=(8a^2b^3)^{\frac15}.
\]
е)
\[
\sqrt{a-1}=(a-1)^{\frac12},\quad
\sqrt[3]{m+n}=(m+n)^{\frac13},
\]
\[
\sqrt[3]{(x+1)^2}=(x+1)^{\frac23},\quad
\sqrt[5]{(x-4)^3}=(x-4)^{\frac35}.
\]
4.3. Запишите в виде корней
а)
\[
a^{\frac12}=\sqrt a,\quad
a^{\frac13}=\sqrt[3]{a},\quad
b^{\frac14}=\sqrt[4]{b},
\]
\[
(ac)^{\frac17}=\sqrt[7]{ac},\quad
(kl)^{\frac1{20}}=\sqrt[20]{kl}.
\]
б)
\[
(x+1)^{\frac12}=\sqrt{x+1},
\]
\[
(a-b)^{\frac74}=\sqrt[4]{(a-b)^7},
\]
\[
(m+3)^{\frac14}=\sqrt[4]{m+3},
\]
\[
(x-y)^{\frac17}=\sqrt[7]{x-y}.
\]
Правило
\[ \sqrt[n]{A^m}=A^{\frac{m}{n}}. \]
Знаменатель дробного показателя — это показатель корня, а числитель — степень подкоренного выражения:
\[ \sqrt[6]{7^5}=7^{\frac56}. \]
Обратно:
\[ A^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{A^m}. \]
Проверка, например:
\[ \left(\sqrt[4]{3^5}\right)^4=3^5,\qquad \left(3^{\frac54}\right)^4=3^5. \]
