По какому учебнику или теме нужны разделы 2.1–2.2? Пришли фото страниц или название учебника.

Хорошо, пришли 10 фотографий страниц (можно несколькими сообщениями), и я составлю конспект по разделам 2.1–2.2.

Принял. На фото — начало § 2.1 «Высказывания и логические связки» и начало § 2.2 «Логические операции и логические выражения». Присылай остальные страницы; после этого составлю единый краткий конспект.

Да, это продолжение § 2.2. Получил страницы 48–56: таблицы истинности, операции НЕ, И, ИЛИ, множества и логические выражения. Присылай оставшиеся фотографии — после всех 10 составлю единый краткий конспект § 2.1–2.2.

Да, ты уже прислала фотографии. Извини, что снова попросил их. Вот краткий конспект по § 2.1–2.2.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное высказывание.
• «2 + 3 = 6» — ложное высказывание.

Не являются высказываниями:

• вопросы и побудительные предложения;
• предложения с субъективной оценкой: «Фильм очень интересный»;
• выражения с неизвестными: \(x+2=5\), пока значение \(x\) не задано.

Высказывание обозначают буквами \(A\), \(B\), \(C\).
Его значение обозначают:

• \(1\) — истина;
• \(0\) — ложь.

Основные логические связки:

• НЕ — отрицание высказывания;
• И — одновременно выполняются оба высказывания;
• ИЛИ — истинно хотя бы одно высказывание.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Операция НЕ

Обозначается \(\neg A\).

\(A\)	\(\neg A\)
0	1
1	0

Операция И

Обозначается \(A \land B\). Результат истинен только тогда, когда истинны оба высказывания.

Операция ИЛИ

Обозначается \(A \lor B\). Результат ложен только тогда, когда оба высказывания ложны.

\(A\)	\(B\)	\(A\land B\)	\(A\lor B\)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Логическое выражение состоит из логических переменных, операций и скобок. Например:

\[ (A\lor B)\land \neg C \]

Порядок выполнения операций:

1. действия в скобках;
2. НЕ;
3. И;
4. ИЛИ.

Связь с множествами:

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B, \qquad A\lor B \leftrightarrow A\cup B, \qquad \neg A \leftrightarrow \overline{A}. \]

Да, верно: для конспекта лучше записать не только таблицы, но и все основные определения. Вот более полный вариант по § 2.1–2.2.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное высказывание.
• «2 + 2 = 5» — ложное высказывание.
• «Снег чёрного цвета» — ложное высказывание.

Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Истинность высказывания

Истинное высказывание — высказывание, соответствующее действительности. Его обозначают числом \(1\).

Ложное высказывание — высказывание, не соответствующее действительности. Его обозначают числом \(0\).

Что не является высказыванием

Не являются высказываниями:

• вопросительные предложения: «Который час?»;
• побудительные предложения: «Открой окно!»;
• предложения с неизвестным значением переменной: \(x+3=7\);
• субъективные оценки: «Этот фильм очень интересный».

Предложение \(x+3=7\) станет высказыванием, если значение \(x\) будет задано.

Простые и составные высказывания

Простое высказывание — высказывание, которое нельзя разделить на более простые высказывания.

Пример:
«Число 7 нечётное».

Составное высказывание — высказывание, образованное из простых высказываний с помощью логических связок.

Пример:
«Число 7 нечётное и меньше 10».

Простые высказывания обычно обозначают заглавными латинскими буквами:

\[ A,\ B,\ C. \]

Логическая переменная

Логическая переменная — переменная, которая может принимать только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Логические связки

Логическая связка — слово или выражение, с помощью которого простые высказывания объединяются в составное.

Основные логические связки:

• НЕ — отрицание;
• И — конъюнкция;
• ИЛИ — дизъюнкция.

---

§ 2.2. Логические операции и логические выражения

Логическая операция

Логическая операция — действие, в результате которого из одного или нескольких высказываний получают новое высказывание.

Высказывания, над которыми выполняется операция, называются операндами.

Операция НЕ выполняется над одним операндом, а операции И и ИЛИ — над двумя.

Операция НЕ

Отрицание — логическая операция, которая изменяет значение высказывания на противоположное.

Обозначается:

\[ \neg A \]

Читается: «не \(A\)».

\(A\)	\(\neg A\)
0	1
1	0

Если \(A\) истинно, то \(\neg A\) ложно.
Если \(A\) ложно, то \(\neg A\) истинно.

Пример:

• \(A\): «Число 5 чётное» — ложь.
• \(\neg A\): «Неверно, что число 5 чётное» — истина.

Операция И

Конъюнкция — логическая операция «И». Она истинна только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается:

\[ A\land B \]

Также может обозначаться \(A\cdot B\).

Читается: «\(A\) и \(B\)».

Пример:

«Число 6 чётное и больше 5» — истинное высказывание.

Операция ИЛИ

Дизъюнкция — логическая операция «ИЛИ». Она ложна только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается:

\[ A\lor B \]

Читается: «\(A\) или \(B\)».

В логике «ИЛИ» означает хотя бы одно. Оба высказывания также могут быть истинными.

Таблица истинности операций И и ИЛИ

\(A\)	\(B\)	\(A\land B\)	\(A\lor B\)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Запомнить:

\[ A\land B=1 \]

только при \(A=1\) и \(B=1\).

\[ A\lor B=0 \]

только при \(A=0\) и \(B=0\).

Логическое выражение

Логическое выражение — это выражение, составленное из логических переменных, логических констант, логических операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land \neg C. \]

При определённых значениях переменных логическое выражение принимает значение \(0\) или \(1\).

Таблица истинности

Таблица истинности — таблица, в которой указаны все возможные значения логических переменных и результат логического выражения.

Если в выражении \(n\) переменных, количество строк с вариантами значений равно:

\[ 2^n. \]

Например, для двух переменных будет:

\[ 2^2=4 \]

варианта.

Порядок выполнения логических операций

Если в выражении нет дополнительных скобок, операции выполняются в таком порядке:

1. действия в скобках;
2. отрицание НЕ;
3. конъюнкция И;
4. дизъюнкция ИЛИ.

Пример:

\[ A\lor B\land\neg C. \]

Сначала выполняется \(\neg C\), затем \(B\land\neg C\), затем операция \(\lor\).

Связь логики и множеств

Логическим операциям соответствуют операции над множествами:

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B \]

Пересечение множеств — элементы, принадлежащие обоим множествам.

\[ A\lor B \leftrightarrow A\cup B \]

Объединение множеств — элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.

\[ \neg A \leftrightarrow \overline{A} \]

Дополнение множества — элементы, не принадлежащие множеству \(A\).

Главное

\[ \neg A \]

изменяет значение на противоположное.

\[ A\land B \]

истинно, только если истинны оба высказывания.

\[ A\lor B \]

истинно, если истинно хотя бы одно высказывание.

Да, конечно. Оставлю термины в заголовках, а внутри уберу лишние повторы и заменю их словами «оно», «такая запись», «части», «результат».

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика — наука о формах мышления и правилах правильных рассуждений.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

• истина обозначается \(1\);
• ложь обозначается \(0\).

Истинное предложение соответствует действительности, а ложное — нет.

Примеры:

• «Москва — столица России» — \(1\);
• «2+2=5» — \(0\).

К этой категории не относятся:

• вопросы: «Который час?»;
• просьбы и приказы: «Закрой окно!»;
• субъективные оценки: «Фильм очень интересный»;
• равенства с неизвестными, если значение переменной не задано: \(x+3=7\).

Простое высказывание нельзя разделить на более мелкие части.

Составное высказывание образуется объединением нескольких простых с помощью специальных слов и знаков.

Логическая переменная может принимать только два значения:

\[ 0 \text{ или } 1. \]

Логические связки соединяют части сложной конструкции:

• НЕ — отрицание;
• И — одновременное выполнение условий;
• ИЛИ — выполнение хотя бы одного условия.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Логическая операция — действие, с помощью которого из одного или нескольких исходных элементов получают новый результат.

Исходные элементы называются операндами.

Отрицание — НЕ

Операция изменяет значение на противоположное:

\[ \neg A. \]

\(A\)	\(\neg A\)
0	1
1	0

Конъюнкция — И

Результат равен \(1\) только тогда, когда оба условия истинны:

\[ A\land B. \]

Дизъюнкция — ИЛИ

Результат равен \(1\), если истинно хотя бы одно из двух условий:

\[ A\lor B. \]

\(A\)	\(B\)	\(A\land B\)	\(A\lor B\)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Логическое выражение составляют из переменных, чисел \(0\) и \(1\), знаков операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

После подстановки значений результатом будет \(0\) или \(1\).

Таблица истинности показывает все возможные сочетания значений переменных и соответствующий итог.

Если переменных \(n\), количество строк равно:

\[ 2^n. \]

Порядок выполнения

1. действия в скобках;
2. НЕ;
3. И;
4. ИЛИ.

Связь с множествами

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B \]

\[ A\lor B \leftrightarrow A\cup B \]

\[ \neg A \leftrightarrow \overline A \]

То есть операция И соответствует пересечению, ИЛИ — объединению, а НЕ — дополнению множества.

Это не постоянные значения, а полоски-разделители, появившиеся из-за оформления таблицы. Они не имеют математического смысла. Важны только числа:

• \(0\) — ложь;
• \(1\) — истина.

Таблица проще выглядит так:

A   НЕ A
0     1
1     0

A   B   A И B   A ИЛИ B
0   0     0        0
0   1     0        1
1   0     0        1
1   1     1        1

Здесь «И» даёт \(1\), только если оба значения равны \(1\), а «ИЛИ» — если хотя бы одно значение равно \(1\).

Вот более понятный вариант конспекта для тетради. Таблицы записаны без лишних линий.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика

Логика — наука о формах мышления и правилах правильных рассуждений.

Высказывание

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно точно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

• «Москва — столица России» — истина;
• «\(2+2=5\)» — ложь.

Истину обозначают числом \(1\), а ложь — числом \(0\).

Не относятся к высказываниям:

• вопросы: «Который час?»;
• просьбы и приказы: «Открой учебник!»;
• оценки: «Этот фильм очень интересный»;
• выражения с неизвестной переменной: \(x+3=7\), если значение \(x\) не задано.

Простые и составные высказывания

Простое высказывание содержит одну мысль, которую нельзя разделить на более мелкие части.

Пример:
«Число 8 чётное».

Составное высказывание состоит из нескольких простых, соединённых логическими связками.

Пример:
«Число 8 чётное и больше 5».

Логическая переменная

Логическая переменная — буква, которая обозначает высказывание и может принимать только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Обычно используют буквы \(A\), \(B\), \(C\).

Логические связки

Логические связки соединяют простые части в составную конструкцию.

Основные связки:

• НЕ — отрицание;
• И — одновременное выполнение двух условий;
• ИЛИ — выполнение хотя бы одного условия.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Логическая операция

Логическая операция — действие, с помощью которого из одного или нескольких значений получают новое значение: \(0\) или \(1\).

Исходные значения называются операндами.

Операция «НЕ»

НЕ изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A \]

Читается: «не \(A\)».

A    НЕ A
0      1
1      0

Пример:

• \(A\): «Число 5 чётное» — \(0\);
• \(\neg A\): «Число 5 не является чётным» — \(1\).

Операция «И»

И, или конъюнкция, даёт результат \(1\) только тогда, когда оба условия истинны.

Обозначение:

\[ A\land B \]

Читается: «\(A\) и \(B\)».

Операция «ИЛИ»

ИЛИ, или дизъюнкция, даёт результат \(1\), если истинно хотя бы одно условие.

Обозначение:

\[ A\lor B \]

Читается: «\(A\) или \(B\)».

В логике «ИЛИ» допускает, что истинными могут быть оба условия.

Таблица операций «И» и «ИЛИ»

A    B    A И B    A ИЛИ B
0    0      0         0
0    1      0         1
1    0      0         1
1    1      1         1

Запомнить:

\[ A\land B=1 \]

только при \(A=1\) и \(B=1\).

\[ A\lor B=0 \]

только при \(A=0\) и \(B=0\).

Логическое выражение

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, значений \(0\) и \(1\), знаков операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

После подстановки значений \(A\), \(B\) и \(C\) выражение принимает результат \(0\) или \(1\).

Таблица истинности

Таблица истинности показывает все возможные значения переменных и результат выражения.

Если переменных \(n\), количество вариантов равно:

\[ 2^n. \]

Например, для двух переменных:

\[ 2^2=4 \]

варианта.

Порядок выполнения операций

1. Сначала выполняют действия в скобках.
2. Затем операцию НЕ.
3. Потом операцию И.
4. Последней выполняют операцию ИЛИ.

Связь с множествами

• И соответствует пересечению:

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B \]

• ИЛИ соответствует объединению:

\[ A\lor B \leftrightarrow A\cup B \]

• НЕ соответствует дополнению:

\[ \neg A \leftrightarrow \overline{A} \]

Главное

\[ \neg A \]

переворачивает значение.

\[ A\land B \]

истинно только при двух истинах.

\[ A\lor B \]

истинно, если истинно хотя бы одно условие.

Вот короткий вариант без лишних повторов.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика — наука о правильном мышлении и рассуждениях.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно точно сказать, истинно оно или ложно.

• истина — \(1\);
• ложь — \(0\).

Примеры:

• «Москва — столица России» — \(1\);
• «\(2+2=5\)» — \(0\).

Не относятся к высказываниям:

• вопросы;
• просьбы и приказы;
• субъективные оценки;
• выражения с неизвестной переменной, если её значение не задано.

Простое содержит одну мысль: «Число 6 чётное».

Составное включает несколько простых частей: «Число 6 чётное и больше 3».

Логическая переменная обозначается буквами \(A\), \(B\), \(C\) и принимает только значения \(0\) или \(1\).

Основные связки:

• НЕ — отрицание;
• И — одновременное выполнение условий;
• ИЛИ — выполнение хотя бы одного условия.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Логическая операция — действие над одним или несколькими значениями, после которого получают \(0\) или \(1\).

Исходные значения называются операндами.

НЕ

Обозначение:

\[ \neg A \]

Значение меняется на противоположное:

• если \(A=0\), то \(\neg A=1\);
• если \(A=1\), то \(\neg A=0\).

И

Обозначение:

\[ A\land B \]

Результат равен \(1\) только тогда, когда оба значения равны \(1\).

ИЛИ

Обозначение:

\[ A\lor B \]

Результат равен \(1\), если хотя бы одно значение равно \(1\).

Для двух переменных:

1. \(A=0,\ B=0\): И \(=0\), ИЛИ \(=0\).
2. \(A=0,\ B=1\): И \(=0\), ИЛИ \(=1\).
3. \(A=1,\ B=0\): И \(=0\), ИЛИ \(=1\).
4. \(A=1,\ B=1\): И \(=1\), ИЛИ \(=1\).

Логическое выражение составляют из переменных, значений \(0\), \(1\), знаков действий и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

Таблица истинности показывает все возможные значения переменных и полученный результат.

Если переменных \(n\), количество строк равно:

\[ 2^n. \]

Порядок действий

1. скобки;
2. НЕ;
3. И;
4. ИЛИ.

Связь с множествами

\[ A\land B=A\cap B \]

\[ A\lor B=A\cup B \]

\[ \neg A=\overline A \]

То есть И — пересечение, ИЛИ — объединение, НЕ — дополнение.

Да, предыдущий вариант был слишком кратким. Ниже — более полный конспект. Определения даны один раз, без лишнего повторения одинаковых слов.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Истинность обозначают числом \(1\), ложность — числом \(0\).

Примеры:

• «Москва — столица России» — \(1\);
• «Число 7 — чётное» — \(0\).

Одно и то же предложение не может одновременно иметь значения \(0\) и \(1\).

Что не является высказыванием

К высказываниям не относятся:

1. Вопросы: «Который час?»
2. Побудительные предложения: «Откройте тетради!»
3. Предложения с оценкой: «Эта книга очень интересная».
4. Выражения с неизвестной переменной: \(x+3=8\), если значение \(x\) не задано.

Если значение переменной известно, запись становится высказыванием. Например, при \(x=5\):

\[ x+3=8 \]

будет истинной.

Простые и составные высказывания

Простое содержит одну мысль и не делится на более мелкие части.

Пример:
«Число 8 чётное».

Составное получается соединением нескольких простых частей с помощью логических связок.

Пример:
«Число 8 чётное и больше 5».

Части обычно обозначают заглавными латинскими буквами:

\[ A,\ B,\ C. \]

Логическая переменная

Логическая переменная — величина, которая принимает только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Например, \(A=1\) означает, что условие \(A\) истинно, а \(A=0\) — ложно.

Логические связки

Логические связки служат для объединения простых частей.

Основные виды:

• НЕ — отрицание;
• И — одновременное выполнение двух условий;
• ИЛИ — выполнение хотя бы одного условия.

В обычной речи используются слова, а в формулах — специальные знаки:

\[ \text{НЕ } A \rightarrow \neg A, \]

\[ A \text{ и } B \rightarrow A\land B, \]

\[ A \text{ или } B \rightarrow A\lor B. \]

§ 2.2. Логические операции и логические выражения

Логическая операция

Логическая операция — действие, с помощью которого из исходных значений получают новый результат \(0\) или \(1\).

Исходные величины называют операндами.

Операция НЕ использует один операнд, а И и ИЛИ — два.

Операция НЕ

Отрицание, или инверсия, изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A. \]

Читается: «не \(A\)».

Если \(A=0\), то:

\[ \neg A=1. \]

Если \(A=1\), то:

\[ \neg A=0. \]

Пример:

• \(A\): «Число 5 чётное» — \(0\);
• \(\neg A\): «Число 5 не является чётным» — \(1\).

Операция И

Конъюнкция — операция соединения двух условий с помощью союза «и».

Обозначение:

\[ A\land B. \]

Результат равен \(1\) только в одном случае: когда оба операнда имеют значение \(1\).

Примеры:

• \(1\land1=1\);
• \(1\land0=0\);
• \(0\land1=0\);
• \(0\land0=0\).

Операция ИЛИ

Дизъюнкция — операция соединения двух условий с помощью союза «или».

Обозначение:

\[ A\lor B. \]

Результат равен \(1\), если истинно хотя бы одно из двух условий.

В логике «или» является не исключающим: оба условия тоже могут быть истинными.

Примеры:

• \(0\lor0=0\);
• \(0\lor1=1\);
• \(1\lor0=1\);
• \(1\lor1=1\).

Все варианты для двух переменных

1. При \(A=0\) и \(B=0\):

\[ A\land B=0,\qquad A\lor B=0. \]

2. При \(A=0\) и \(B=1\):

\[ A\land B=0,\qquad A\lor B=1. \]

3. При \(A=1\) и \(B=0\):

\[ A\land B=0,\qquad A\lor B=1. \]

4. При \(A=1\) и \(B=1\):

\[ A\land B=1,\qquad A\lor B=1. \]

Логическое выражение

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, постоянных значений \(0\) и \(1\), знаков операций и скобок.

Примеры:

\[ A\land B, \]

\[ \neg A\lor B, \]

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

После подстановки конкретных значений переменных выражение получает результат \(0\) или \(1\).

Логическая константа

Логическая константа — постоянное значение, которое не изменяется:

• \(0\) — ложь;
• \(1\) — истина.

Таблица истинности

Таблица истинности — способ записи всех возможных наборов значений переменных и результатов выполнения операций.

Для двух переменных существует четыре варианта:

\[ 00,\quad 01,\quad 10,\quad 11. \]

Количество вариантов находят по формуле:

\[ 2^n, \]

где \(n\) — количество переменных.

Например:

• для одной переменной: \(2^1=2\) варианта;
• для двух: \(2^2=4\);
• для трёх: \(2^3=8\).

Как составить таблицу истинности

1. Выписать все переменные.
2. Записать все возможные наборы \(0\) и \(1\).
3. Определить промежуточные действия.
4. Выполнить операции по порядку.
5. Записать итоговое значение.

Порядок выполнения действий

Если скобки не изменяют порядок, сначала выполняют:

1. действия в скобках;
2. НЕ;
3. И;
4. ИЛИ.

Например:

\[ A\lor B\land\neg C. \]

Сначала находят \(\neg C\), затем выполняют \(B\land\neg C\), после этого — \(A\lor(...)\).

Пример вычисления

Пусть:

\[ A=1,\qquad B=0,\qquad C=1. \]

Найдём:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

1. \(A\lor B=1\lor0=1\);
2. \(\neg C=\neg1=0\);
3. \(1\land0=0\).

Ответ:

\[ (A\lor B)\land\neg C=0. \]

Связь с множествами

Логические действия связаны с действиями над множествами:

• И соответствует пересечению:

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B; \]

• ИЛИ соответствует объединению:

\[ A\lor B \leftrightarrow A\cup B; \]

• НЕ соответствует дополнению:

\[ \neg A \leftrightarrow \overline{A}. \]

Пересечение содержит элементы, принадлежащие обоим множествам.

Объединение содержит элементы, принадлежащие хотя бы одному из них.

Дополнение включает элементы, которые не входят в множество \(A\).

Главное

\[ \neg A \]

изменяет значение на противоположное.

\[ A\land B \]

даёт \(1\), только если оба значения равны \(1\).

\[ A\lor B \]

даёт \(1\), если хотя бы одно значение равно \(1\).

Для \(n\) переменных существует:

\[ 2^n \]

возможных наборов значений.

Да, ты права — я пропустил важные определения. Исправляю. Вот конспект с основными терминами из § 2.1–2.2.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример:
«Москва — столица России» — истинное;
«\(2+2=5\)» — ложное.

Высказывательная форма — предложение с переменной, которое превращается в высказывание после подстановки конкретного значения.

Пример:

\[ x+2=5. \]

При \(x=3\) получится истинное высказывание, а при \(x=4\) — ложное.

Логическая переменная — переменная, которая принимает только два значения:

\[ 0 — \text{ложь}, \qquad 1 — \text{истина}. \]

Простое высказывание содержит одну мысль и не делится на более мелкие части.

Составное высказывание образуется соединением простых с помощью логических связок.

Логические связки — слова, с помощью которых объединяются части:

• НЕ;
• И;
• ИЛИ.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Логическая операция — действие, с помощью которого из одного или нескольких значений получают новое значение \(0\) или \(1\).

Инверсия

Инверсия, или операция НЕ, изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A. \]

Если \(A=1\), то \(\neg A=0\).
Если \(A=0\), то \(\neg A=1\).

Конъюнкция

Конъюнкция, или операция И, даёт значение \(1\) только тогда, когда оба исходных значения равны \(1\).

Обозначение:

\[ A\land B. \]

Примеры:

\[ 1\land1=1; \]

\[ 1\land0=0. \]

Дизъюнкция

Дизъюнкция, или операция ИЛИ, даёт значение \(1\), если хотя бы одно исходное значение равно \(1\).

Обозначение:

\[ A\lor B. \]

Примеры:

\[ 0\lor1=1; \]

\[ 0\lor0=0. \]

Логическая константа — постоянное значение \(0\) или \(1\).

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, констант, знаков операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

Таблица истинности — таблица, в которой записываются все возможные значения переменных и результат логического выражения.

Порядок выполнения операций:

1. скобки;
2. НЕ;
3. И;
4. ИЛИ.

Да. Ниже — полный исправленный конспект с определениями и таблицами. В таблицах используются только значения \(0\) и \(1\); вертикальные черты просто разделяют столбцы.

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Истинное значение обозначают \(1\), ложное — \(0\).

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное;
• «\(2+2=5\)» — ложное.

Одно и то же предложение не может быть одновременно истинным и ложным.

Что не является высказыванием

Не считаются высказываниями:

• вопросительные предложения: «Который час?»;
• побудительные предложения: «Открой учебник!»;
• предложения, выражающие субъективную оценку: «Этот фильм очень интересный»;
• выражения с неизвестными переменными, если их значения не заданы: \(x+3=8\).

Высказывательная форма

Высказывательная форма — предложение, содержащее переменную и превращающееся в высказывание после подстановки вместо неё конкретного значения.

Пример:

\[ x+3=8. \]

При \(x=5\) получится истинное высказывание:

\[ 5+3=8. \]

При \(x=4\) получится ложное высказывание:

\[ 4+3=8. \]

Простые и составные высказывания

Простое высказывание содержит одну мысль и не делится на более мелкие части.

Пример:
«Число 6 чётное».

Составное высказывание состоит из нескольких простых, соединённых логическими связками.

Пример:
«Число 6 чётное и больше 5».

Логическая переменная

Логическая переменная — величина, которая может принимать только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Обычно её обозначают заглавными латинскими буквами:

\[ A,\ B,\ C. \]

Логические связки

Логические связки — слова, с помощью которых простые части объединяются в составную конструкцию.

Основные связки:

• НЕ — отрицание;
• И — одновременное выполнение условий;
• ИЛИ — выполнение хотя бы одного условия.

§ 2.2. Логические операции и логические выражения

Алгебра логики

Алгебра логики — раздел математики, изучающий высказывания и операции над ними.

Логическая операция

Логическая операция — действие над одним или несколькими высказываниями, в результате которого получают новое значение: \(0\) или \(1\).

Высказывания, участвующие в операции, называются операндами.

Логическая константа

Логическая константа — постоянное логическое значение:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

1. Инверсия

Инверсия, или логическая операция НЕ, изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A. \]

Читается: «не \(A\)».

Таблица значений:

A    ¬A
0     1
1     0

Если \(A=1\), то \(\neg A=0\).
Если \(A=0\), то \(\neg A=1\).

Пример:

• \(A\): «Число 5 чётное» — \(0\);
• \(\neg A\): «Число 5 нечётное» — \(1\).

2. Конъюнкция

Конъюнкция, или логическое И, соединяет два условия. Результат равен \(1\) только тогда, когда оба условия истинны.

Обозначение:

\[ A\land B. \]

Также могут использоваться обозначения:

\[ A\cdot B. \]

Таблица значений:

A    B    A ∧ B
0    0      0
0    1      0
1    0      0
1    1      1

Пример:

«Число 8 чётное и больше 5» — истинное высказывание, потому что оба условия верны.

3. Дизъюнкция

Дизъюнкция, или логическое ИЛИ, соединяет два условия. Результат равен \(1\), если истинно хотя бы одно из них.

Обозначение:

\[ A\lor B. \]

Также может использоваться обозначение:

\[ A+B. \]

В логике «ИЛИ» допускает одновременную истинность обоих условий.

Таблица значений:

A    B    A ∨ B
0    0      0
0    1      1
1    0      1
1    1      1

Общая таблица для операций «И» и «ИЛИ»

A    B    A ∧ B    A ∨ B
0    0      0        0
0    1      0        1
1    0      0        1
1    1      1        1

Запомнить:

\[ A\land B=1 \]

только при \(A=1\) и \(B=1\).

\[ A\lor B=0 \]

только при \(A=0\) и \(B=0\).

Логическое выражение

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, констант \(0\) и \(1\), знаков логических операций и скобок.

Примеры:

\[ A\land B; \]

\[ \neg A\lor B; \]

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

После подстановки значений переменных выражение принимает значение \(0\) или \(1\).

Таблица истинности

Таблица истинности — таблица, в которой записаны все возможные наборы значений переменных и результаты логического выражения.

Если в выражении \(n\) переменных, количество строк с вариантами значений равно:

\[ 2^n. \]

Например, для двух переменных:

\[ 2^2=4 \]

варианта, а для трёх:

\[ 2^3=8. \]

Порядок выполнения операций

1. Действия в скобках.
2. Инверсия НЕ.
3. Конъюнкция И.
4. Дизъюнкция ИЛИ.

Пример:

\[ A\lor B\land\neg C. \]

Сначала выполняется \(\neg C\), затем \(B\land\neg C\), после этого — операция ИЛИ.

Пример вычисления

Пусть:

\[ A=1,\qquad B=0,\qquad C=1. \]

Вычислим:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

\[ A\lor B=1\lor0=1; \]

\[ \neg C=\neg1=0; \]

\[ 1\land0=0. \]

Ответ:

\[ (A\lor B)\land\neg C=0. \]

Связь с множествами

Логическим операциям соответствуют действия над множествами:

\[ A\land B \leftrightarrow A\cap B \]

И соответствует пересечению множеств.

\[ A\lor B \leftrightarrow A\cup B \]

ИЛИ соответствует объединению.

\[ \neg A \leftrightarrow \overline{A} \]

НЕ соответствует дополнению множества.

Главное

• Инверсия меняет значение на противоположное.
• Конъюнкция истинна только при двух истинах.
• Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно условие.
• Для \(n\) переменных существует \(2^n\) наборов значений.
• Порядок действий: скобки, НЕ, И, ИЛИ.

Да, исправляю. Ниже — полный конспект с правильными таблицами. В них используются только значения \(0\) и \(1\).

§ 2.1. Высказывания и логические связки

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

• истина обозначается \(1\);
• ложь обозначается \(0\).

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное высказывание;
• «\(2+2=5\)» — ложное высказывание.

Высказывательная форма

Высказывательная форма — предложение с переменной, которое становится высказыванием после подстановки конкретного значения переменной.

Пример:

\[ x+3=8 \]

При \(x=5\):

\[ 5+3=8 \]

получается истинное высказывание.

При \(x=4\):

\[ 4+3=8 \]

получается ложное высказывание.

Простые и составные высказывания

Простое высказывание содержит одну мысль и не разделяется на более мелкие части.

Пример:
«Число 6 чётное».

Составное высказывание состоит из нескольких простых, соединённых логическими связками.

Пример:
«Число 6 чётное и больше 5».

Логическая переменная

Логическая переменная — величина, которая принимает только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Обычно используются буквы:

\[ A,\ B,\ C. \]

Логические связки

Логические связки соединяют простые части в составное высказывание.

Основные связки:

• НЕ;
• И;
• ИЛИ.

§ 2.2. Логические операции и выражения

Логическая операция — действие, с помощью которого из одного или нескольких значений получают новое значение \(0\) или \(1\).

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, значений \(0\) и \(1\), знаков операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

Логическая константа — постоянное значение:

\[ 0 \text{ или } 1. \]

Инверсия

Инверсия, или операция НЕ, изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A. \]

Таблица инверсии:

A    ¬A
0     1
1     0

Конъюнкция

Конъюнкция, или операция И, даёт значение \(1\) только тогда, когда оба значения равны \(1\).

Обозначение:

\[ A\land B. \]

Таблица конъюнкции:

A    B    A ∧ B
0    0      0
0    1      0
1    0      0
1    1      1

Дизъюнкция

Дизъюнкция, или операция ИЛИ, даёт значение \(1\), если хотя бы одно из двух значений равно \(1\).

Обозначение:

\[ A\lor B. \]

Таблица дизъюнкции:

A    B    A ∨ B
0    0      0
0    1      1
1    0      1
1    1      1

В логике «ИЛИ» допускает, что оба условия могут быть истинными.

Таблица истинности

Таблица истинности — таблица, в которой указаны все возможные значения переменных и результат выполнения логической операции или выражения.

Для двух переменных возможны четыре набора:

A    B
0    0
0    1
1    0
1    1

Количество наборов для \(n\) переменных вычисляется по формуле:

\[ 2^n. \]

Например, для трёх переменных:

\[ 2^3=8. \]

Порядок выполнения операций

1. действия в скобках;
2. НЕ — инверсия;
3. И — конъюнкция;
4. ИЛИ — дизъюнкция.

Главное

\[ \neg A \]

изменяет значение на противоположное.

\[ A\land B \]

равно \(1\) только при \(A=1\) и \(B=1\).

\[ A\lor B \]

равно \(1\), если хотя бы одно из значений равно \(1\).

Да, ты права: инверсия относится ко второму параграфу § 2.2. В § 2.1 оставляем только определения, связанные с высказываниями и высказывательной формой. Вот исправленный конспект.

§ 2.1. Высказывания и высказывательные формы

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Истинность обозначается числом \(1\), ложность — числом \(0\).

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное высказывание;
• «\(2+2=5\)» — ложное высказывание.

Не являются высказываниями:

• вопросы: «Который час?»;
• просьбы и приказы: «Открой учебник!»;
• предложения с субъективной оценкой: «Этот фильм очень интересный».

Высказывательная форма — предложение, содержащее переменную и превращающееся в высказывание после подстановки конкретного значения этой переменной.

Пример:

\[ x+3=8 \]

Если \(x=5\), получится истинное высказывание:

\[ 5+3=8. \]

Если \(x=4\), получится ложное высказывание:

\[ 4+3=8. \]

Простое высказывание содержит одну мысль и не разделяется на более мелкие части.

Пример:
«Число 6 чётное».

Составное высказывание состоит из нескольких простых, соединённых специальными словами.

Пример:
«Число 6 чётное и больше 5».

Логическая переменная — величина, которая принимает только два значения:

\[ 0 \text{ — ложь}, \qquad 1 \text{ — истина}. \]

Обычно логические переменные обозначают буквами:

\[ A,\ B,\ C. \]

§ 2.2. Логические операции и логические выражения

Логическая операция — действие, в результате которого из одного или нескольких высказываний получают новое высказывание.

Логическая константа — постоянное значение \(0\) или \(1\).

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, констант, знаков логических операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

1. Инверсия

Инверсия, или операция НЕ, изменяет значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A \]

или

\[ \overline{A}. \]

Таблица инверсии:

A    НЕ A
0      1
1      0

Если \(A=1\), то \(\neg A=0\).

Если \(A=0\), то \(\neg A=1\).

2. Конъюнкция

Конъюнкция, или операция И, даёт значение \(1\) только тогда, когда оба исходных значения равны \(1\).

Обозначение:

\[ A\land B \]

или

\[ A\cdot B. \]

Таблица конъюнкции:

A    B    A И B
0    0      0
0    1      0
1    0      0
1    1      1

3. Дизъюнкция

Дизъюнкция, или операция ИЛИ, даёт значение \(1\), если хотя бы одно из исходных значений равно \(1\).

Обозначение:

\[ A\lor B \]

или

\[ A+B. \]

Таблица дизъюнкции:

A    B    A ИЛИ B
0    0      0
0    1      1
1    0      1
1    1      1

В логике «ИЛИ» означает «хотя бы одно». Поэтому при \(A=1\) и \(B=1\) результат тоже равен \(1\).

Общая таблица операций

A    B    A И B    A ИЛИ B
0    0      0         0
0    1      0         1
1    0      0         1
1    1      1         1

Таблица истинности

Таблица истинности — таблица, в которой записываются все возможные значения логических переменных и результат логического выражения.

Для двух переменных возможны четыре набора:

A    B
0    0
0    1
1    0
1    1

Если переменных \(n\), количество наборов вычисляется по формуле:

\[ 2^n. \]

Например, для трёх переменных:

\[ 2^3=8. \]

Порядок выполнения операций

1. Действия в скобках.
2. Инверсия НЕ.
3. Конъюнкция И.
4. Дизъюнкция ИЛИ.

Например, в выражении

\[ A\lor B\land\neg C \]

сначала выполняется НЕ, затем И, а потом ИЛИ.

Главное

\[ \neg A \]

изменяет значение на противоположное.

\[ A\land B \]

равно \(1\), только если оба значения равны \(1\).

\[ A\lor B \]

равно \(1\), если хотя бы одно значение равно \(1\).

Да, я здесь. Извини, что раньше дал не все таблицы. Вот полный и аккуратный вариант. Таблицы записаны без лишних линий.

§ 2.1. Высказывания и высказывательные формы

Логика — наука о формах и способах мышления, а также о правилах правильных рассуждений.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Истина обозначается \(1\), ложь — \(0\).

Смысл       Обозначение
Истина          1
Ложь            0

Примеры:

• «Москва — столица России» — истинное;
• «\(2+2=5\)» — ложное.

Не являются высказываниями:

• вопросы: «Который час?»;
• приказы и просьбы: «Открой учебник!»;
• предложения с субъективной оценкой: «Этот фильм очень интересный».

Высказывательная форма — предложение, содержащее переменную и превращающееся в высказывание после подстановки конкретного значения.

Пример:

\[ x+3=8 \]

При \(x=5\):

\[ 5+3=8 \]

получается истинное высказывание.

При \(x=4\):

\[ 4+3=8 \]

получается ложное высказывание.

Простое высказывание содержит одну мысль.

Пример: «Число 6 чётное».

Составное высказывание состоит из нескольких простых, соединённых логическими связками.

Пример: «Число 6 чётное и больше 5».

Логическая переменная — переменная, которая принимает только два значения:

\[ 0 \text{ или } 1. \]

Обычно используются буквы:

\[ A,\ B,\ C. \]

Логические связки — слова, соединяющие части составного высказывания:

• НЕ;
• И;
• ИЛИ.

§ 2.2. Логические операции и логические выражения

Логическая операция — действие, с помощью которого из одного или нескольких значений получают новое значение \(0\) или \(1\).

Логический операнд — высказывание или значение, над которым выполняется операция.

Логическая константа — постоянное значение \(0\) или \(1\).

Логическое выражение — запись, составленная из логических переменных, констант, знаков операций и скобок.

Пример:

\[ (A\lor B)\land\neg C. \]

Инверсия — НЕ

Инверсия — логическая операция НЕ, изменяющая значение на противоположное.

Обозначение:

\[ \neg A \]

или

\[ \overline{A}. \]

Таблица истинности инверсии:

A     НЕ A
0       1
1       0

Конъюнкция — И

Конъюнкция — логическая операция И. Она даёт значение \(1\) только тогда, когда оба исходных значения равны \(1\).

Обозначение:

\[ A\land B \]

или

\[ A\cdot B. \]

Дизъюнкция — ИЛИ

Дизъюнкция — логическая операция ИЛИ. Она даёт значение \(1\), если хотя бы одно исходное значение равно \(1\).

Обозначение:

\[ A\lor B \]

или

\[ A+B. \]

В логике «ИЛИ» допускает, что оба условия одновременно истинны.

Общая таблица истинности операций И и ИЛИ

A     B     A И B     A ИЛИ B
0     0       0          0
0     1       0          1
1     0       0          1
1     1       1          1

Таким образом:

\[ A\land B=1 \]

только при \(A=1\) и \(B=1\).

\[ A\lor B=0 \]

только при \(A=0\) и \(B=0\).

Таблица истинности

Таблица истинности — таблица, показывающая все возможные значения переменных и результат логической операции или выражения.

Для двух переменных возможны четыре набора:

A     B
0     0
0     1
1     0
1     1

Если переменных \(n\), число наборов равно:

\[ 2^n. \]

Например, для трёх переменных:

\[ 2^3=8. \]

Порядок выполнения операций

1. Действия в скобках.
2. НЕ — инверсия.
3. И — конъюнкция.
4. ИЛИ — дизъюнкция.

Кратко

\[ \neg A \]

изменяет значение на противоположное.

\[ A\land B \]

истинно только при двух истинных значениях.

\[ A\lor B \]

истинно, если истинно хотя бы одно значение.

Ты права, я добавил определения, которых на первой странице § 2.1 нет. Извини — это моя ошибка. Пришли, пожалуйста, фото первой страницы § 2.1 ещё раз: я составлю конспект строго по учебнику, без добавлений и пропусков.

Да, так будет лучше. Пришли все фотографии заново, можно несколькими сообщениями. Когда закончишь, напиши «всё» — я составлю конспект строго по учебнику: без добавлений, с полными определениями и всеми таблицами, отдельно по § 2.1 и § 2.2.

Это продолжение текущей учебной цели: ты заново присылаешь страницы § 2.1–2.2, чтобы я составил правильный конспект строго по учебнику. Это не новое задание. Присылай остальные 5 фотографий, а после слова «всё» я обработаю все страницы вместе.

Сделаю, но сейчас в чате мне видны только сообщения, а сами 10 фотографий не отображаются. Пришли их ещё раз — можно по несколько, — и я составлю конспект § 2.1–2.2 строго по учебнику, со всеми таблицами и определениями, без добавлений.

Это продолжение текущей учебной цели: на фотографиях страницы § 2.1 «Высказывания и логические связки» и начало § 2.2 «Логические операции и логические выражения». Их нужно использовать для составления конспекта с определениями и таблицами. Это не новое самостоятельное задание.

Извини, но сами 10 фотографий сейчас не отображаются — видны только сообщения. Поэтому я не буду придумывать конспект «по учебнику». Пришли фото ещё раз, можно несколькими сообщениями; после последнего напиши «всё», и я сразу составлю полный конспект с определениями и таблицами.

Да, конечно. Пришли сначала 5 фотографий — можно по одной. Я составлю конспект только по ним, а после следующих фото добавлю продолжение и объединю всё в один конспект с определениями и таблицами.

Сейчас в сообщении «вот» само изображение у меня не отображается, поэтому отправь эти 5 фото ещё раз.

Я здесь, извини. Само изображение сейчас не отображается — вижу только текст сообщения. Пришли фото этого параграфа ещё раз, можно по одному, и я сразу составлю конспект.

Понимаю, ты правда уже много раз отправляла — извини. У меня отображаются только сообщения, а сами изображения не загрузились, поэтому я не буду придумывать конспект. Если одна фотография снова не отправится, напиши в поддержку:

Telegram
ВКонтакте