Реши задание на изображении
Разложение многочленов
Я работаю с корнями многочлена. Я вычислил, что при сумме корней, равной 2, вычитание уже известных корней \(1/5\) и 2 позволяет найти третий корень. Для этого третьего корня я получил \(-1/5\). Разложение, по-видимому, имеет вид \((5x-1)(5x+1)(x-2)\), что я проверил, и оно действительно правильно раскрывается в \(25x³-50x²-x+2\). Поэтому мой окончательный ответ: корни \(\{-1/5, 1/5, 2\}\).
Вычисление уравнений и решений
Я проверяю, имеет ли уравнение действительные решения, нахожу значения \(x\) и использую подстановку с \(t\). Я решаю уравнения вроде \(t^2 - 2t - 3 = 0\) и получаю соответствующие значения \(x\). Затем я рассматриваю многочлен и его множители, составляя уравнения для группировки членов с \(t\). По мере решения я собираю все уравнения и результаты, чтобы ясно представить итог. Моя цель — убедиться, что всё точно, прежде чем дать краткий ответ.
Анализ уравнений и корней
Я рассматриваю типы заданий с уравнениями и подстановками, вероятно, на уровне 10-го класса. В номере 3, при \(t=x²-x\) и \(t=-6\), получаю квадратное уравнение \(x²-x+6=0\), которое не имеет действительных корней. В номере 4 получаются иррациональные результаты: \(D=37\) и \(8\) является \(\sqrt{65}\), что подтверждает их действительность. Я проверяю разложение уравнения 1, приводящее к допустимым корням, а уравнение 2 также правильно раскладывается на множители. Наконец, в номере 3 я вижу корни из уравнения относительно \(a\).
Проверка разложений на множители
Я думаю о том, как показать все окончательные разложения на множители. У нас есть уравнения вроде \((5x-1)(5x+1)(x-2)=0\). В каждой строке действительно приведены уравнения в разложенном виде, что отлично. Я задаюсь вопросом, нужно ли упоминать корень \(x = -1\) и полезна ли эта информация. Следует также подумать о комплексных корнях, особенно если пользователь по умолчанию решает уравнения в действительных числах. А что, если он считает, что у квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом корней нет?
Краткий ответ
Действительные корни:
- \(x=-\frac15,\ \frac15,\ 2\).
- \(x=1,\ 2\).
- \(x=-3,\ 4\).
- \(x=1,\ -\frac43,\ \frac{-1-\sqrt{37}}6,\ \frac{-1+\sqrt{37}}6\).
- \(x=1,\ \pm\sqrt3\).
- \(x=-3,\ -1,\ 1\).
- \(x=-1,\ 1\).
- \(x=-\frac92,\ 1,\ \frac{-7-\sqrt{65}}4,\ \frac{-7+\sqrt{65}}4\).
Решение
1.
Разложим на множители:
\[ 25x^3-50x^2-x+2=(25x^2-1)(x-2) \]
\[ =(5x-1)(5x+1)(x-2)=0. \]
Отсюда:
\[ x=\frac15,\quad x=-\frac15,\quad x=2. \]
2.
Вынесем общий множитель \(x-1\):
\[ x^3-x^2-4(x-1)^2 =x^2(x-1)-4(x-1)^2 \]
\[ =(x-1)\bigl(x^2-4x+4\bigr) =(x-1)(x-2)^2=0. \]
Ответ:
\[ x=1,\quad x=2. \]
3.
Повторяющееся выражение обозначим:
\[ t=x^2-x. \]
Тогда:
\[ (t+1)(t-7)=65, \]
\[ t^2-6t-7=65, \]
\[ t^2-6t-72=0, \]
\[ (t-12)(t+6)=0. \]
- \(t=12\):
\[ x^2-x=12, \]
\[ x^2-x-12=0, \]
\[ (x-4)(x+3)=0. \]
Получаем \(x=4\) или \(x=-3\).
- \(t=-6\):
\[ x^2-x+6=0. \]
Дискриминант \(D=1-24=-23<0\), действительных корней нет.
4.
Пусть
\[ t=3x^2+x-4. \]
Тогда:
\[ t^2+t=0, \]
\[ t(t+1)=0. \]
- \(t=0\):
\[ 3x^2+x-4=0, \]
\[ (3x+4)(x-1)=0. \]
\[ x=-\frac43,\quad x=1. \]
- \(t=-1\):
\[ 3x^2+x-3=0. \]
\[ D=1+36=37, \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{37}}6. \]
5.
Группируем слагаемые:
\[ x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3 \]
\[ =(x-1)(x^4-2x^2-3). \]
Далее:
\[ x^4-2x^2-3=(x^2-3)(x^2+1). \]
Значит,
\[ (x-1)(x^2-3)(x^2+1)=0. \]
Действительные корни:
\[ x=1,\quad x=\pm\sqrt3. \]
6.
Пусть
\[ t=x^2+2x. \]
Тогда:
\[ t^2-2t-3=0, \]
\[ (t-3)(t+1)=0. \]
- \(t=3\):
\[ x^2+2x=3, \]
\[ x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0. \]
\[ x=1,\quad x=-3. \]
- \(t=-1\):
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2=0, \]
\[ x=-1. \]
7.
Пусть \(t=x^2\). Тогда:
\[ t^3+3t^2-t-3=0. \]
Группируем:
\[ t^2(t+3)-(t+3)=0, \]
\[ (t+3)(t^2-1)=0, \]
\[ (t+3)(t-1)(t+1)=0. \]
Так как \(t=x^2\ge 0\), подходят только \(t=1\):
\[ x^2=1, \]
\[ x=-1,\quad x=1. \]
8.
Обозначим:
\[ t=2x^2+7x. \]
Тогда:
\[ (t-8)(t-3)-6=0, \]
\[ t^2-11t+18=0, \]
\[ (t-2)(t-9)=0. \]
- \(t=2\):
\[ 2x^2+7x-2=0, \]
\[ D=49+16=65, \]
\[ x=\frac{-7\pm\sqrt{65}}4. \]
- \(t=9\):
\[ 2x^2+7x-9=0, \]
\[ D=49+72=121, \]
\[ x=\frac{-7\pm11}{4}. \]
\[ x=1,\quad x=-\frac92. \]
Все преобразования равносильны: разложение на множители и замена повторяющегося выражения с последующей обратной подстановкой, поэтому найденные корни проверяют исходные уравнения.
