Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(-3\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt3\)

\[ \boxed{x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+\pi k;\,-\frac{\pi}{3}+\pi k\right)},\quad k\in\mathbb Z \]

2. \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le\frac12\)

\[ \boxed{x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\,\pi+\pi k\right]},\quad k\in\mathbb Z \]

3. \(\tg\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)>1\)

\[ \boxed{x\in\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\,\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\right)},\quad k\in\mathbb Z \]

Решение

1)

\[ -3\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt3 \]

Делим на отрицательное число \(-3\), поэтому знак меняется:

\[ \tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right)<-\frac{\sqrt3}{3} =\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right). \]

Тангенс возрастает на каждом промежутке своей непрерывности:

\[ -\frac{\pi}{2}+\pi k<x+\frac{\pi}{6} <-\frac{\pi}{6}+\pi k. \]

Отсюда:

\[ -\frac{2\pi}{3}+\pi k<x<-\frac{\pi}{3}+\pi k. \]

2)

Пусть

\[ t=2x-\frac{\pi}{3}. \]

Известно:

\[ \cos t\le\frac12 \quad\Longrightarrow\quad t\in\left[\frac{\pi}{3}+2\pi k;\frac{5\pi}{3}+2\pi k\right]. \]

Тогда:

\[ \frac{\pi}{3}+2\pi k \le 2x-\frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{3}+2\pi k. \]

Прибавим \(\frac{\pi}{3}\) и разделим на \(2\):

\[ x\in\left[\frac{\pi}{3}+\pi k;\pi+\pi k\right]. \]

3)

Пусть

\[ t=2x-\frac{\pi}{4}. \]

Так как

\[ 1=\tg\frac{\pi}{4}, \]

получаем:

\[ \tg t>1 \quad\Longrightarrow\quad t\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right). \]

Следовательно:

\[ \frac{\pi}{4}+\pi k <2x-\frac{\pi}{4} <\frac{\pi}{2}+\pi k, \]

\[ \boxed{x\in\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}; \frac{3\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}\right)}. \]

Варианты с квадратными скобками для тангенса неверны: в точках \(\tg=\) заданному числу неравенство строгое, а в точках \(\frac{\pi}{2}+\pi k\) тангенс не определён.