Номер 510 и 514

Краткий ответ

510. Параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны или одна диагональ делит угол пополам.

514. Периметр квадрата равен
\[ \boxed{24\text{ см}}. \]

510. Доказательство признаков ромба

а) Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, его диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(AC\perp BD\).

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:

\[ AO=OC. \]

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(AOB\) и \(COB\):

• \(AO=OC\);
• \(OB\) — общая сторона;
• \(\angle AOB=\angle COB=90^\circ\).

Следовательно, треугольники равны по двум катетам. Поэтому

\[ AB=BC. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AB=CD,\qquad BC=AD. \]

Значит,

\[ AB=BC=CD=AD, \]

то есть \(ABCD\) — ромб.

---

б) Диагональ параллелограмма делит угол пополам

Пусть диагональ \(AC\) делит угол \(DAB\) пополам:

\[ \angle BAC=\angle CAD. \]

Так как \(AB\parallel CD\), то

\[ \angle BAC=\angle DCA. \]

Следовательно,

\[ \angle CAD=\angle DCA. \]

В треугольнике \(ACD\) равны углы при \(A\) и \(C\), значит, равны противоположные стороны:

\[ AD=DC. \]

Но в параллелограмме \(DC=AB\), поэтому

\[ AD=AB. \]

Параллелограмм с равными соседними сторонами является ромбом.

---

514. Решение

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда

\[ CD=DE=EF=FC=x. \]

Так как \(AC=BC=12\) см, треугольник \(ABC\) — равнобедренный прямоугольный.

Сторона квадрата \(DE\) параллельна катету \(BC\). Поэтому треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны:

\[ \frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}. \]

Здесь

\[ AD=AC-CD=12-x,\qquad DE=x. \]

Подставим:

\[ \frac{12-x}{12}=\frac{x}{12}. \]

Отсюда

\[ 12-x=x, \]

\[ 2x=12, \]

\[ x=6\text{ см}. \]

Периметр квадрата:

\[ P=4x=4\cdot6=\boxed{24\text{ см}}. \]

Проверка: сторона квадрата \(6\) см, значит четыре стороны дают \(24\) см.