4.12 4.13
Краткий ответ
4.12
- \(2\);
- \(-15{,}5\);
- \(-1\);
- \(8\).
4.13
- \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt5+\sqrt x}\);
- \(\displaystyle \frac{1}{a-\sqrt7}\);
- \(\displaystyle -\frac{1}{3\sqrt x+5}\);
- \(\displaystyle -\bigl(\sqrt{5x}+\sqrt6\bigr)\).
Решение
Главный приём — вынести общий множитель или применить формулу разности квадратов:
\[ A^2-B^2=(A-B)(A+B). \]
4.12
1)
\[ \frac{\sqrt7-2}{2\sqrt7-4}+1{,}5 = \frac{\sqrt7-2}{2(\sqrt7-2)}+1{,}5 \]
\[ =\frac12+1{,}5=0{,}5+1{,}5=\boxed{2}. \]
2)
\[ \frac{\sqrt{28}-6}{\sqrt7-3}-17{,}5 = \frac{2\sqrt7-6}{\sqrt7-3}-17{,}5 \]
\[ =\frac{2(\sqrt7-3)}{\sqrt7-3}-17{,}5 =2-17{,}5=\boxed{-15{,}5}. \]
3)
\[ \frac{3\sqrt7-2a}{6\sqrt7-4a}-1{,}5 = \frac{3\sqrt7-2a}{2(3\sqrt7-2a)}-1{,}5 \]
\[ =\frac12-1{,}5=\boxed{-1}. \]
4)
Так как
\[ \sqrt{12c}=2\sqrt{3c}, \]
то
\[ \frac{\sqrt{3c}+2}{\sqrt{12c}+4}+7{,}5 = \frac{\sqrt{3c}+2}{2\sqrt{3c}+4}+7{,}5 \]
\[ =\frac{\sqrt{3c}+2}{2(\sqrt{3c}+2)}+7{,}5 =\frac12+7{,}5=\boxed{8}. \]
4.13
1)
Представим знаменатель как разность квадратов:
\[ 5-x=(\sqrt5)^2-(\sqrt x)^2 =(\sqrt5-\sqrt x)(\sqrt5+\sqrt x). \]
Тогда
\[ \frac{\sqrt5-\sqrt x}{5-x} = \frac{\sqrt5-\sqrt x} {(\sqrt5-\sqrt x)(\sqrt5+\sqrt x)} = \boxed{\frac1{\sqrt5+\sqrt x}}. \]
2)
\[ a^2-7=a^2-(\sqrt7)^2 =(a-\sqrt7)(a+\sqrt7). \]
Поэтому
\[ \frac{\sqrt7+a}{a^2-7} = \frac{a+\sqrt7}{(a-\sqrt7)(a+\sqrt7)} = \boxed{\frac1{a-\sqrt7}}. \]
3)
\[ 25-9x=5^2-(3\sqrt x)^2 =(5-3\sqrt x)(5+3\sqrt x). \]
Поскольку
\[ 5-3\sqrt x=-(3\sqrt x-5), \]
получаем
\[ \frac{3\sqrt x-5}{25-9x} = \frac{3\sqrt x-5} {-(3\sqrt x-5)(5+3\sqrt x)} = \boxed{-\frac1{3\sqrt x+5}}. \]
4)
Числитель — разность квадратов:
\[ 5x-6=(\sqrt{5x})^2-(\sqrt6)^2 =(\sqrt{5x}-\sqrt6)(\sqrt{5x}+\sqrt6). \]
Знаменатель:
\[ \sqrt6-\sqrt{5x}=-(\sqrt{5x}-\sqrt6). \]
Следовательно,
\[ \frac{5x-6}{\sqrt6-\sqrt{5x}} = \frac{(\sqrt{5x}-\sqrt6)(\sqrt{5x}+\sqrt6)} {-(\sqrt{5x}-\sqrt6)} \]
\[ =\boxed{-(\sqrt{5x}+\sqrt6)}. \]
При сокращении важно помнить ограничения исходной дроби: нельзя допускать нулевой знаменатель. Например, в 4.13(1) \(x\ne5\), в 4.13(2) \(a\ne\pm\sqrt7\), в 4.13(3) \(x\ne\frac{25}{9}\), в 4.13(4) \(x\ne\frac65\).
