Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{(x,y)=(6;3)}\).

Обозначим повторяющиеся корни:

\[ a=\sqrt{x-2},\qquad b=\sqrt{5y+1}, \]

причём \(a,b\ge 0\). Тогда система уравнений принимает вид:

\[ \begin{cases} 2a+b=8,\\ 3a-2b=-2. \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на \(2\):

\[ 4a+2b=16. \]

Сложим его со вторым уравнением:

\[ (4a+2b)+(3a-2b)=16-2, \]

\[ 7a=14,\qquad a=2. \]

Подставим в первое уравнение:

\[ 2\cdot2+b=8 \quad\Rightarrow\quad b=4. \]

Возвращаемся к \(x\) и \(y\):

\[ \sqrt{x-2}=2 \Rightarrow x-2=4 \Rightarrow x=6, \]

\[ \sqrt{5y+1}=4 \Rightarrow 5y+1=16 \Rightarrow y=3. \]

Проверим неравенство:

\[ \sqrt{2x-3}\ge 1+\sqrt{x-4}. \]

При \(x=6\):

\[ \sqrt{12-3}=3,\qquad 1+\sqrt{6-4}=1+\sqrt2. \]

Так как \(3\ge 1+\sqrt2\), неравенство выполняется.

Также:

\[ 2\sqrt4+\sqrt{16}=8,\qquad 3\sqrt4-2\sqrt{16}=-2. \]

Следовательно, решение:

\[ \boxed{x=6,\ y=3}. \]

Принцип для похожих заданий: одинаковые корни удобно заменить новыми переменными, решить получившуюся линейную систему, а затем обязательно проверить найденные значения в исходных выражениях.