решит второй вариант
Вычисление свойств квадратичных функций
Мне нужно представить решения для двух квадратных уравнений на русском языке. Сначала я начну с краткого ответа, а затем подробно опишу шаги. Я объясню такие ключевые понятия, как вершина, ось симметрии, корни, точки пересечения, область определения, область значений, а также поведение функции при возрастании или убывании.
Для первого уравнения \(y = -2x^2 + 8x - 6\) я определю вершину, корни и точку пересечения с осью \(y\), а затем обобщу свойства.
Для второго уравнения \(y = (x - 2)(x + 4)\) я проведу аналогичный анализ и также обобщу его характеристики.
Вычисление значений и свойств
Я вычисляю значения функции. Например, при \(x = -4\) значение равно \(0\); при \(-3\) оно равно \(-5\); при \(-2\) — \(-8\); и так далее, вплоть до \(x = 2\), где оно равно \(0\).
Я создам таблицу с точками: (-4,0), (-3,-5), (-2,-8), (-1,-9), (0,-8), (1,-5) и (2,0).
Область определения — все действительные числа, а область значений — \(y \geq -9\). Функция убывает до \(-1\), а затем возрастает.
Краткий ответ
а) \(y=-2x^2+8x-6\)
- Вершина: \((2;2)\)
- Ось симметрии: \(x=2\)
- Ветви направлены вниз
- Нули функции: \(x=1\) и \(x=3\)
- Область значений: \(y\le 2\)
- Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\)
б) \(y=(x-2)(x+4)\)
- Вершина: \((-1;-9)\)
- Ось симметрии: \(x=-1\)
- Ветви направлены вверх
- Нули функции: \(x=-4\) и \(x=2\)
- Область значений: \(y\ge -9\)
- Убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\)
а) \(y=-2x^2+8x-6\)
Приведём функцию к виду вершины:
\[ y=-2(x^2-4x+3) \]
\[ y=-2\bigl((x-2)^2-1\bigr) \]
\[ \boxed{y=-2(x-2)^2+2} \]
Отсюда сразу видны:
- вершина параболы: \(\boxed{(2;2)}\);
- ось симметрии: \(\boxed{x=2}\);
- так как коэффициент перед квадратом отрицательный, ветви направлены вниз;
- наибольшее значение функции: \(\boxed{2}\).
Нули функции
\[ -2x^2+8x-6=0 \]
\[ -2(x^2-4x+3)=0 \]
\[ -2(x-1)(x-3)=0 \]
\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=3} \]
Точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ (1;0),\quad (3;0). \]
При \(x=0\):
\[ y=-6, \]
поэтому точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ (0;-6). \]
Для построения можно взять точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&-6&0&2&0&-6 \end{array} \]
Парабола проходит через эти точки и имеет ось симметрии \(x=2\).
Свойства
- Область определения: \(\boxed{D(f)=\mathbb R}\).
- Область значений: \(\boxed{E(f)=(-\infty;2]}\).
- Возрастает на \(\boxed{(-\infty;2]}\).
- Убывает на \(\boxed{[2;+\infty)}\).
- \(y>0\) при \(\boxed{x\in(1;3)}\).
- \(y<0\) при \(\boxed{x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)}\).
б) \(y=(x-2)(x+4)\)
Раскроем скобки:
\[ y=x^2+2x-8. \]
Выделим полный квадрат:
\[ y=(x+1)^2-9. \]
Отсюда:
- вершина параболы: \(\boxed{(-1;-9)}\);
- ось симметрии: \(\boxed{x=-1}\);
- ветви направлены вверх;
- наименьшее значение функции: \(\boxed{-9}\).
Нули функции
Функция уже разложена на множители:
\[ (x-2)(x+4)=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x_1=-4,\quad x_2=2}. \]
Точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ (-4;0),\quad (2;0). \]
При \(x=0\):
\[ y=(0-2)(0+4)=-8. \]
Точка пересечения с осью \(Oy\):
\[ (0;-8). \]
Таблица значений:
\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-4&-3&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&0&-5&-8&-9&-8&-5&0 \end{array} \]
Парабола симметрична относительно прямой \(x=-1\).
Свойства
- Область определения: \(\boxed{D(f)=\mathbb R}\).
- Область значений: \(\boxed{E(f)=[-9;+\infty)}\).
- Убывает на \(\boxed{(-\infty;-1]}\).
- Возрастает на \(\boxed{[-1;+\infty)}\).
- \(y>0\) при \(\boxed{x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)}\).
- \(y<0\) при \(\boxed{x\in(-4;2)}\).
Для построения обеих параболей отметь вершину, точки пересечения с осями и проведи симметричную кривую относительно указанной оси.
