Решит второй вариант

Краткий ответ

1а) \(y=-2x^2+8x-6\)

\[ y=-2(x-2)^2+2 \]

• Вершина: \(A(2;2)\)
• Ось симметрии: \(x=2\)
• Ветви направлены вниз
• Область определения: \(D(y)=\mathbb R\)
• Область значений: \(E(y)=(-\infty;2]\)
• Нули функции: \(x_1=1,\ x_2=3\)
• Возрастает на \((-\infty;2)\)
• Убывает на \((2;+\infty)\)
• Максимальное значение: \(y_{\max}=2\)

Точки для построения:

\[ (0;-6),\ (1;0),\ (2;2),\ (3;0),\ (4;-6) \]

1б) \(y=(x-2)(x+4)\)

\[ y=x^2+2x-8=(x+1)^2-9 \]

• Вершина: \(A(-1;-9)\)
• Ось симметрии: \(x=-1\)
• Ветви направлены вверх
• Область определения: \(D(y)=\mathbb R\)
• Область значений: \(E(y)=[-9;+\infty)\)
• Нули функции: \(x_1=-4,\ x_2=2\)
• Убывает на \((-\infty;-1)\)
• Возрастает на \((-1;+\infty)\)
• Минимальное значение: \(y_{\min}=-9\)

Точки для построения:

\[ (-4;0),\ (-2;-8),\ (-1;-9),\ (0;-8),\ (2;0) \]

Решение и объяснение

а)

Выделим полный квадрат:

\[ \begin{aligned} y&=-2x^2+8x-6\\ &=-2(x^2-4x+3)\\ &=-2\bigl((x-2)^2-1\bigr)\\ &=-2(x-2)^2+2. \end{aligned} \]

Это вид

\[ y=a(x-m)^2+n. \]

Здесь \(a=-2<0\), поэтому парабола направлена вниз, а её вершина имеет координаты \((m;n)=(2;2)\).

Нули функции:

\[ -2x^2+8x-6=0 \]

\[ x^2-4x+3=0 \]

\[ (x-1)(x-3)=0, \]

откуда \(x=1\) и \(x=3\).

б)

Раскроем скобки и выделим полный квадрат:

\[ \begin{aligned} y&=(x-2)(x+4)\\ &=x^2+2x-8\\ &=(x+1)^2-9. \end{aligned} \]

Здесь \(a=1>0\), поэтому парабола направлена вверх, а вершина:

\[ A(-1;-9). \]

Нули сразу видны из произведения:

\[ (x-2)(x+4)=0, \]

\[ x=2\quad\text{или}\quad x=-4. \]

Для построения каждой параболы отметь указанные точки, проведи ось симметрии и соедини точки плавной линией.

Проверка: для первой функции \(f(1)=f(3)=0\), для второй \(f(-4)=f(2)=0\), что совпадает с найденными корнями.